Matematicas: Factorizacion

-Factorización:
1.- introducción al campo de factorización ( Qué es factorizar?):
Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta.
La factorización puede considerarse como la operación inversa a la multiplicación, pues el propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la factorización,se buscan los factores de un producto dado.
Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica, a los términos que multiplicados entre sí dan como producto la primera expresión.

Por ejemplo, 2x3 + 8x2y se puede factorizar, o rescribir, como 2x2(x + 4y).

2.- Factor común:
Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra entodos los términos del polinomio.
Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.
Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente detodas
Ejemplo:

3.- Factorización por agrupación:
Agrupamos los términos que tengan factores comunes en un paréntesis, y los demás que tengan factores comunes en otro paréntesis, y separamos estos dos paréntesis por el signo que tenga el segundo término.

Luego aplicamos la factorización por factor común en cada uno de los paréntesis.

Veamos algunos ejemplos.

Factorizar la siguienteexpresión.

1)     ab + x2y2 – a3b4 + x4y5

Aquí agrupamos los términos 1 y 3
(ab – a3b4 )

Y los términos 2 y 4
(x2y2+ x4y5 )

Luego tendremos ambos paréntesis separados por el signo del segundo término que es positivo (+)

          (ab – a3b4 ) + (x2y2+ x4y5).

Aplicando factorización por factor común tenemos

ab (1 – a2b3) +xy (xy + x3y4) reps.
  
4.-Factorización de diferenciade cuadrados:
La factorización de una diferencia de cuadrados es el producto de dos
Binomios conjugados

a2– b2 = ( a + b ) (a – b )

Nótese que el término que cambia de signo en los binomios conjugados es el
Correspondiente al término que se resta en la diferencia de cuadrados.
Así, si se desea factorizar una diferencia de cuadrados debe obtenerse primero
la raíz cuadrada de cadatérmino de la diferencia y, posteriormente, construir
con ellas el par de binomios conjugados necesarios para la factorización.


5.- Factorización de trinomios cuadráticos:
A) Perfectos:


Un trinomio cuadrado perfecto es una expresión algebraica de la forma
a2+2ab+b2
Para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:
1.- Identificar los dos términos que son cuadradosperfectos obteniéndoles su
raíz cuadrada.

2.- El tercer término corresponde al doble producto de la raíz cuadrada de los
dos términos del punto anterior.

Si se tiene al trinomio
a2+2ab+b2

se identifican los dos términos que son cuadrados perfectos
a2=a b2=b
el tercer término corresponde al doble producto de las raíces de los dos
anteriores
2ab
Por lo tanto a
2+2ab+b2es un trinomio cuadrado perfecto.
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:

1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados perfectos
del trinomio.
2. Se anotan los dos términos anteriores como una suma algebraica
elevada al cuadrado.

Lo anterior queda expresado como

a2+2ab+b2=(a+b)2

Ejemplo 1

Factorizar y2+6yw+9w2

Solución
Se investigasi el trinomio es cuadrado perfecto.
La raíz cuadrada de y2 es y
La raíz cuadrada de 9w2 es 3w
El doble del producto de ambas raíces es 2(y)(3w)=6yw.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto y la factorización es:
a2 + 2ab + b2 = (y+3w)2

B) no perfecto:

Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto:
1. Se obtiene la raíz cuadrada de los términos que son cuadrados...