Matematicas Financieras-Rentas Financieras

Problemas resueltos

Rentas financieras
1) Una persona tiene derecho a recibir una renta de 6.000 euros al comienzo de cada año
durante 10 años y desea sustituirla por un único capital a percibir dentro de 5 años. Calcular
la cuantía de dicho capital sabiendo que en la valoración se utiliza un tipo de interés del 8%
efectivo anual. Lo mismo, pero suponiendo una renta de cuantía semestralpospagable de
3.000 euros.
Solución

6.000

6.000

0

1

6.000 ................ 6.000

2

................

5

6.000

6

................ 6.000

................

9

10

Se trata de una renta de cuantía anual constante , temporal por 10 años, inmediata y
prepagable. Para calcular su capital sustituto en el quinto año (C,5), se puede situar el punto
de valoración encualquier momento del intervalo (0,10) ya que se está valorando en
capitalización compuesta, aunque lo habitual es colocarlo en el origen o en el final de la
renta, ya que ésta es inmediata. Haciéndolo, por ejemplo, en t = 5:
C = 6.000 && 5┐0,08 + 6.000 ä5┐0,08 = 6.000 [(1,08) S5┐0,08 + (1,08) a5┐0,08] = 63.888,33 €
S
Si se valora en t = 0:
C (1,08)-5 = 6.000 ä10┐0,08
C = 6.000 (1,08)a10┐0,08 (1,08)5 = 6.000 a10┐0,08 (1,08)6 = 63.888,33 €
Si se valora en t = 10:
C (1,08)5 = 6.000 && 10┐0,08
S

1

C = (1,08)-5 6.000 (1,08) S 10┐0,08 = (1,08)-4 6.000 S 10┐0,08 = 63.888,33 €
Gráficamente, la renta semestral se representa:

3.000

0

1

3.000 ................ 3.000

2

................

10

3.000

11

................ 3.000

................

19

3.00020

Como se observa, se trata de una renta de cuantía semestral constante 3.000 €, temporal por
20 semestres, inmediata y pospagable. Valorando en t = 10, su capital equivalente en el
décimo semestre es:
C = 3.000 [S10┐0,0392 + a10┐0,0392] = 60.315 €
Sabiendo que: i2 = (1,08)1/2 – 1 = 0,0392
2) Una máquina cuyo precio es de 36.000 euros se alquila mediante una operación de leasing a
unaempresa que ha de pagar una cuota de alquiler al comienzo de cada año de 10.800 euros
durante 4 años, efectuando el primer pago dentro de 2 años y comprometiéndose a
comprarla un año después de haber entregado la última cuota. Si se valora al 12% efectivo
anual, ¿qué precio debe satisfacer esta empresa para adquirir la máquina?.
Solución

10.800 10.800 10.800 10.800

0

1

2

3

45

C

6

Denotando por C el importe que se debe satisfacer para adquirir la máquina y valorando
todos los capitales en el origen, se tiene:
36.000 = 10.800 2/ä4┐0,12 + C (1,12)-6
36.000 = 10.800 (1,12)-2 (1,12) a4┐0,12 + C (1,12)-6
De donde: C = 13.246,87 €

2

Nótese que se ha calculado el valor actual de una renta de cuantía anual constante 10.800 €,
diferida dos años,temporal por cuatro años y prepagable.
Si, por el contrario, se considera que la renta es pospagable, el planteamiento concreto es:
36.000 = 10.800 1/a4┐0,12 + C (1,12)-6
36.000 = 10.800 (1,12)-1 a4┐0,12 + C (1,12)-6
Resultando igualmente: C = 13.246,87 €
3) Una inversión presenta las siguientes características:
- Desembolso inicial: 60.000 euros. Duración 8 años. Tipo de interés efectivotrimestral para la valoración financiera del 2,5%.
- Ingresos previstos: 1.200 euros mensuales durante los 4 primeros años y 1.800
euros mensuales durante los 4 últimos.
- Gastos totales: 600 euros trimestrales y prepagables durante la duración de la
inversión.
Calcular:
- Valor actual de los ingresos previstos.
- Valor final de los gastos totales.
- Valor actual neto (VAN) de la inversión.Solución

1.200

0

1

1.200 ................ 1.200

2

................

48

1.800

49

................ 1.800

................

95

1.800

96

En primer lugar, se calculan los tipos de interés efectivo anual y mensual equivalentes al
efectivo trimestral del 2,5%:
i = (1,025)4 – 1 = 0,1038
i12 = (1,1038)1/12 – 1 = 0,00826
-

Para calcular el valor actual de...