Matematicas financieras

Análisis y evaluación de proyectos Raúl Coss Bu
Flujos de efectivo en forma de gradientes aritméticos y geométricos
Ciertos proyectos de inversión generan flujos de efectivo que crecen o disminuyen una cierta cantidad constante cada período. Por ejemplo, los gastos de mantenimiento de un cierto equipo se pueden incrementar una cierta cantidad constante cada periodo. También, es posible queciertos proyectos generen flujos que se incrementan un cierto porcentaje constante por cada periodo. Este último caso se comprende fácilmente cuando se supone que los flujos por el efecto de la inflación crecen a un porcentaje constante por período. Por consiguiente, en el presente inciso se van a desarrollar fórmulas de equivalencias para flujos de efectivo que se comparten en forma de gradiente yasea aritmético o geométrico.

Gradientes aritméticos.
Un flujo de efectivo en forma de gradiente aritmético sería aquel que aparece en la figura 2.4 como puede observarse en esta figura, el flujo del primer año es A1, y del segundo año en adelante el flujo se incrementa en una cantidad constante g. Por consiguiente, si quisiéramos transformar el flujo de efectivo de la figura 2.4 a unoparecido al de la figura 2.5, el cual es completamente equivalente, una alternativa es considerar que en el período dos empieza una serie uniforme de flujos de efectivo de tamaño g.

También otra serie uniforme de flujos de efectivo empieza en el período tres y así sucesivamente hasta llegar al último período. De acuerdo con esta lógica, la cantidad A2 se puede obtener al multiplicar la suma de losvalores futuros de estas series por esto es, A2 se puede determinar por medio de la siguiente expresión:

Ejemplo
Una persona piensa abrir una cuenta de ahorros que paga el 12% anual. Para empezar, esta persona piensa depositar al final del año $ 5,000. Sin embargo, puesto que su salario está creciendo constantemente, esta persona cree poder incrementar la cantidad a ahorrar en $1,000 cadaaño. Si esta misma persona hiciera depósitos anuales de la misma magnitud, ¿de qué tamaño tendrían que ser para que la cantidad acumulada en 10 años fuera la misma?
Utilizando la ecuación (2.7) y sustituyendo la información presentada en el ejemplo, esta persona tendría que depositar:

Es decir, depositar $8,585 al final del año durante diez años, es equivalente a depositar al final del primeraño $5,000 y después incrementar el depósito en $1,000 por año.
Gradientes geométricos
Los flujos de efectivo en forma de gradientes geométricos (ver figura 2.6) ocurren como se mencionaba anteriormente, en ambientes crónicos inflacionarios o bien en épocas de recesión. Esto significa que los flujos de efectivo de un período al siguiente pueden aumentar o disminuir de acuerdo a un porcentaje fijo,es decir, el flujo de efectivo del periodo se puede representar como:

Donde j representa el porcentaje fijo de cambio (aumento o disminución) del flujo de efectivo entre un periodo y el siguiente. Conociendo este porcentaje de cambio entre un período y el siguiente, el valor presente de estos flujos vendría dado por la siguiente expresión:

3.8.3. GRADIENTES GEOMÉTRICOS
La otramodalidad de gradiente, es precisamente el gradiente geométrico (Gg) o serie de cuotas (rentas) periódicas ó flujos de caja que aumenta o disminuye en porcentajes constantes en períodos consecutivos de pago, en vez de aumentos constantes de dinero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambian en el mismo porcentaje entre cada período. A esto se le llama gradiente geométrico. La notación que utilizaremos:
* Elgradiente (Gg) es el porcentaje que aumenta o disminuye cada cuota (puede ser positivo o negativo). * Rp1: es la cuota periódica 1. * La representación i/m, se refiere a la tasa nominal capitalizable y la frecuencia de los pagos. * n: tiempo-plazo en años (número de cuotas periódicas)
Para conocer el valor actual y valor futuro, las fórmulas a utilizar son distintas dependiendo si la razón...