Matematicas Financieras

Unidad 3

• SUCESIONES Y SERIES

INTRODUCCION
Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo
con una ley. Cada número se llama término de la sucesión. Por ejemplo, el
conjunto 1, 6, 11, 16, 21, 26 es una sucesión cuya ley es que cada término
después del primero se obtiene sumando 5 al término anterior. El conjunto 5, 10,
20,40 es una sucesión cuya ley es que cadatérmino, después del primero, se
obtiene multiplicando por 2 el término anterior.
Se dice que una sucesión es finita si hay un primero y un último términos.
Las sucesiones mostradas en el párrafo anterior son finitas. Si el conjunto de
números que forman una sucesión no tiene un primero o un último término,
entonces se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo, 3, 5, 7, 9, ... es unasucesión infinita. Los puntos suspensivos indican que no hay último término.
Si representamos con al al primer término de una sucesión, con a2 al
segundo término, con a3 al tercer término, etc., entonces podemos denotar una
sucesión finita como:
a1, a2, a3, ..., a n
El término a n se llama n-ésimo término o término general.
Una sucesión infinita se denota como:
a1, a2,a3,..., a n, . . .
A menudolas sucesiones se designan mediante una fórmula que da el valor
de a n para cualquier entero n. Así, la fórmula a n = 3n + 2 define la sucesión cuyos
primeros 7 términos son:
a1 = 3(1)+2 = 5
a2 = 3(2) + 2 = 8
a3 = 3(3)+2 = 11
a4 = 3(4) + 2 = 14
a5 = 3(5)+2 = 17
a6 = 3(6) + 2 = 20
a7 = 3(7) + 2 = 23
Podemos escribir la sucesión como: 5, 8, 11, 14,17, 20, 23.

EJEMPLO 3.1
Encuentre losprimeros 5 términos de las sucesiones definidas a través de las
siguientes ecuaciones:

El ejemplo anterior muestra que existen dos formas de especificar las sucesiones:
1. El término a " se expresa por medio de n.
2. Se dan uno o varios términos, y el término a " se expresa por medio de los
términos precedentes.
La suma, indicada o no, de los términos de una sucesión recibe el nombre deserie. La serie puede ser finita o infinita, según que la sucesión sea finita o infinita,
respectivamente. Por ejemplo, la sucesión a1, a2, a3, ..., a n forma la serie a1 + a2 +
a3 + . . .+ an.
EJEMPLO 3.2
Forme una serie con los primeros 4 términos de la sucesión an= (–1)n 5n.
SOLUCIÓN

Ejercicios 3.1
Encuentre los primeros 4 términos de las sucesiones dadas:

Forme una serie con losprimeros 5 términos de cada una de las siguientes
ecuaciones:

SUCESIONES ARITMÉTICAS
Una sucesión aritmética, llamada también progresión aritmética, es una
sucesión en la cual cada término, después del primero, se obtiene sumándole al
término anterior una cantidad constante llamada diferencia común. Por ejemplo, la
sucesión 1, 6, 11, 16, 21, 26 es una sucesión aritmética cuya diferenciacomún es
5; ya que 1 + 5 = 6; 6 + 5 = 11; 11 + 5 = 16; 16 + 5 = 21; 21 + 5 = 26. La sucesión
20,15, 10, 5, 0, -5, -10 es una progresión aritmética con diferencia común de –5.
En toda progresión aritmética la diferencia común se encuentra restándole a
un término cualquiera el término anterior.
Sea al, a2, a3, ..., a n una sucesión aritmética finita y sea d su diferencia
común. Por definición,es posible escribir:

El término general o término n-ésimo se obtuvo al observar que el coeficiente de d en cada término es uno menos que el correspondiente número de
orden del término. Por tanto, el n-ésimo término de una progresión aritmética se
obtiene mediante la siguiente ecuación:

EJEMPLO 3.3
Encuentre el 20o. término de la progresión aritmética 2, 9,16,
SOLUCIÓN

Mediante laecuación (3.1) se tiene:
a20 = 2 + (20–1)7 = 135
EJEMPLO 3.4
El 15o. término de una sucesión aritmética es 49 y su diferencia común es
3.
Encuentre el lo. término.
SOLUCIÓN

EJEMPLO 3.5
El primer término de una sucesión aritmética es 0 y el 20o. término es 190.
Encuentre la diferencia común.
SOLUCIÓN
Se despeja d de la ecuación (3.1):

Por tanto:

EJEMPLO 3.6
¿Cuántos términos...