Matematicas fundamental

Guía
Del estudiante
Modalidad a distancia

Modulo
MATEMÁTICA FUNDAMETAL PARA INGENIERÍA DE SITEMAS
I SEMESTRE

DATOS DE IDENTIFICACION
TUTOR

Luis Enrique Alvarado Vargas

Teléfono

435 29 52 – CEL. 310 768 90 67

E-mail
Lugar

leav70@gmail.com
Madrid Cundinamarca

Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca
BIENVENIDA

UNIDAD DE TRABAJO No.4
¿Dequé manera un grafico aporta en la solución de un problema en la
programación?

INDICADORES

¿Cómo se diferencian los distintos tipos de funciones y como se seleccionan?

¿Para qué sirven las funciones trascendentes en la solución de problemas del
contexto?

Introducción
RELACIONES Y FUNCIONES
El concepto de relación surge de manera natural en el análisis de un sistema
en general. Porejemplo, en los números naturales, podemos hablar de la
relación ser menor o igual que. Bajo esta relación, por ejemplo, el
se
relaciona con el
pero no al contrario, y el se relaciona con todos los
elementos. En este capítulo nos interesa estudiar las relaciones en general, la
funciones (que son relaciones) y las relaciones de equivalencia. Nuestro
estudio no será disyunto: la igualdad esuna relación que es tanto función como
relación de equivalencia.
Producto cartesiano
Un par ordenada consta de dos elementos
en que

y

, donde nos interesa el orden

aparecen los objetos. Llamemos (a, b) a esta pareja. Por ejemplo, (4, 6) ≠ (6,
4), pero {4. 6} = {6, 4}. En esencia nos gustaría que todo par ordenado (a, b)
cumpliera la siguiente propiedad: (a, b) = (a´, b´) si y sólo si[
y
]
(dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son iguales y
aparecen en el mismo orden). Podríamos definir el par ordenado (a, b) como el
objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los papeles
(esto se hace frecuentemente en matemáticas): dar una definición conjuntista
de (a, b) y mostrar que, así definido, este conjunto cumple la propiedadque
queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:
Definición. (Par ordenado) Dados a, b elementos (o conjuntos!), definimos
el par ordenado (a, b) así: (a, b) = {{a}, {a, b}}; (a, b) es llamado ''el par
coma '''', o simplemente `` coma ''.

Por ejemplo, (4, 6) es el conjunto {{4}, {4,6}}, mientras que (6, 4) es el conjunto
{{6}, {6, 4}}. Note que, por ejemplo, {4} (4,6) \ (6, 4) , y poresto concluimos
(como queríamos) que (4, 6) ≠ (6, 4).
Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena
observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya demostración dejamos al
lector), que utilizaremos constantemente:

1.

si y sólo si

no es un singleton (un singleton es, como su

nombre se indica, un conjunto de un elemento. Por ejemplo,
singleton).
2.es un

si y sólo si.

Teorema.
(Propiedad del par ordenado)

si y sólo si [

y

]

Demostración. [Prueba]
La dirección
entonces

la

es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos
otra

dirección.

Suponga

que

,

esto

es,

. Hay 2 casos:
Caso

1:

:

en

este

caso
.

Pero esto implica que

, lo cual a su vez implica que

. Entoncespodemos concluir

son el mismo elemento, y en particular
.

Caso 2:

y

: Entonces

tiene 2 elementos (¿por que?), lo

cual implica que
Pero

esto

(siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos.
implica

(¿por

qué?)

, entonces
la segunda opción es imposible, luego
Similarmente

o

que

.

o

Como
. Pero

, es decir,

.

, pero la primera opción esimposible, así que

. Esto implica que

primera opción es imposible (pues
.
Dados dos conjuntos

y

y

o

, pero la

), luego concluimos que

podemos formar el conjunto todas las parejas

ordenadas
, donde la primera coordenada ( ) viene de
, y la segunda
coordenada ( ) viene de
. A este conjunto lo llamamos el producto
cartesiano de

y

y lo notamos así:

....