matematicas II

MATEMATICAS II DADE

EXAMEN - SOLUCION

1. (1.5 puntos) Una empresa de calzado produce zapatos (Z) y botas (B) en tres fábricas
indistintamente. Cada fábrica produce las cantidades por hora de Z y B que se detallan en la
siguiente tabla:

Z
B

FÁBRICA 1
300
200

FÁBRICA 2
200
500

FÁBRICA 3
200
200

La empresa recibe un pedido de 3.000 unidades de Z y 6.000 unidades de B.Los costes por hora
de funcionamiento de las tres fábricas son de 7.000 A , 11.000 A y 5.000 A , respectivamente.
C
C
C

(a) Formula el problema de minimizar los costes de producción (¿cuántas horas trabaja cada
fábrica?) de manera que se satisfaga, al menos, el pedido recibido.
x1 : horas de trabajo fábrica 1.
x2 : horas de trabajo fábrica 2.
x3 : horas de trabajo fábrica 3.
M in C =7000 x1 + 11000 x2 + 5000 x3
s.a. 300 x1 + 200 x2 + 200 x3 ≥ 3000
200 x1 + 500 x2 + 200 x3 ≥ 6000
x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 x3 ≥ 0

(b) Calcula el problema dual del anterior.
M ax t = 3000 u1 + 6000 u2
s.a. 300 u1 + 200 u2 ≤ 7000
200 u1 + 500 u2 ≤ 11000
200 u1 + 200 u2 ≤ 5000
u1 ≥ 0 u2 ≥ 0

1

(c) Aplicando las condiciones de K-T al problema dual se obtiene que la solución se alcanza en el
punto(5, 20), tomando los multipicadores los valores (0, 10, 5). Con estos datos, y sin necesidad
de resolver el problema,
¿Cuál es la solución del problema inicial?, ¿cuánto se produce en cada fábrica de cada
producto?, ¿cuál es el coste mínimo de producción?
Si aumenta en una unidad la demanda de Z y disminuye en una unidad la demanda de B,
¿cuánto vale aproximadamente el nuevo coste mínimo?Razona la respuesta.

Sabemos que las variables duales tienen valor (5, 20) y que los multiplicadores del dual son
(0, 10, 5). Es decir, (u∗ , u∗ ) = (5, 20) y (x∗ , x∗ , x∗ ) = (0, 10, 5) porque las variables del problema
1 2
1 2 3
primal son los multiplicadores de Lagrange del problema dual.

¿Cuál es la solución del problema inicial?
(x∗ , x∗ , x∗ ) = (0, 10, 5) La fábrica 1 trabaja 0horas, la fábrica 2 trabaja 10 horas y la fábrica 3
1 2 3
trabaja 5 horas.

¿Cuánto se produce en cada fábrica de cada producto?
En la fábrica 1 no hay producción (trabaja 0 horas).
En la fábrica 2 se producen 2.000 (200[ un ] ∗ 10[hr]) unidades de zapatos y 5.000 (500[ un ] ∗ 10[hr])
hr
hr
unidades de botas.
En la fábrica 3 se producen 1.000 (200[ un ] ∗ 5[hr]) unidades zapatos y 1.000(200[ un ] ∗ 5[hr])
hr
hr
unidades de botas.

¿Cuál es el coste mínimo de producción?
C∗
C∗
C∗
C∗

= 7000 x∗ + 11000 x∗ + 5000 x∗
1
2
3
= 7000 (0) + 11000 (10) + 5000 (5)
= 0 + 110000 + 25000
= 135000
El coste mínimo de producción es 135.000 A .
C

Si aumenta en una unidad la demanda de Z y disminuye en una unidad la demanda de B, ¿cuánto
vale aproximadamente el nuevo costemínimo? Razona la respuesta.
aumenta en una unidad la demanda de Z ⇒ b1 = 1
disminuye en una unidad la demanda de B ⇒ b2 = −1
C ∗ = dC ∗ = u∗ · b1 + u∗ · b2
1
2
C ∗ = dC ∗ = 5(1) + 20(−1)
C ∗ = dC ∗ = −15
El coste mínimo disminuiría en 15 A .
C
El nuevo coste mínimo sería 134.985 (135.000-15) A .
C

2

MATEMATICAS II DADE

EXAMEN - SOLUCION

2. (2 puntos) Resuelve el siguienteproblema de optimización:
M in 10y1 + 25y2 + 40y3
s.a. −y1 − 2y2 − 3y3 ≤ −10
y1 + 3y2 + 4y3 ≥ 13
y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0
NOTA: Puede resolverse directamente, o resolver gráficamente el dual aplicando a continuación
las condiciones de holgura complementaria para resolver el problema inicial.

Antes de calcular el dual tenemos que escribir el problema en forma canónica:
M in Z = 10y1 + 25y2 + 40y3s.a. y1 + 2y2 + 3y3 ≥ 10
y1 + 3y2 + 4y3 ≥ 13
y1 ≥ 0 y2 ≥ 0 y3 ≥ 0
Dual:
M ax t = 10u1 + 13u2
s.a. u1 + u2 ≤ 10
(R1)
2u1 + 3u2 ≤ 25 (R2)
3u1 + 4u2 ≤ 40 (R3)
u1 ≥ 0 u2 ≥ 0
∧
u2

10
25
3

(5, 5)

R1

<

10

R2

R3
25 40
2 3

u1

>

∨
Como el conjunto factible es compacto podemos encontrar el máximo comparando el valor de t
en cada punto extremo del conjunto:...