Matematicas Iii

´ ´ UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES Plantel Sur

´ M A T E M A T I C A S - II

Cuaderno de Trabajo

Profesora: NORA JUDITH RODR´ IGUEZ MART´ INEZ

Nombre del alumno: Grupo: Enero 2010

TEMARIO UNIDAD 1 - Funciones Cuadr´ticas. a UNIDAD 2 - Construcciones Geom´tricas B´sicas. e a UNIDAD 3 - Congruencia y Semejanza. UNIDAD 4 - Per´ ımetros, Areasy Vol´menes . u UNIDAD 5 - Elementos de Trigonometr´ ıa. Fechas de Ex´menes a Unidad 1Unidad 2Unidad 3Unidad 4Unidad 5-

Este texto fue elaborado, tomando como base los textos publicados por el Colegio de Ciencias y Humanidades y de otras instituciones, con el fin de apoyar a los alumnos del curso de Matem´ticas a II, dicho material esta sujeto a las observaciones y correcciones de especialistasen el ´rea. a

1

Cap´ ıtulo 1 Repaso
1.1. Ecuaciones de primer grado
=8 =8+2 = 10 =
10 5

Ejemplo 1: 5x − 2 5x 5x x

x =2 Ejemplo 2:
1 x 2 4 + 3x

=3 = 3)6 = 18 = 18

4 (1x + 3x 2

3x + 8x 11x

x = 18 11 2 3 Ejemplo 3: 7 (2x + 1) − 5 (x − 2) = 1

2

Ejercicio 1.1: Resuelve la siguiente ecuacion de primer grado. a)
x+2 9

−

x−8 3

=3

1.2.
1.2.1.
x=Ecuaciones de segundo grado
M´todo por Formula General e
√ −b± b2 −4ac 2a

Discriminante b2 − 4ac > 0 Dos soluciones diferentes b2 − 4ac = 0 Tiene soluci´n unica o b2 − 4ac < 0 La soluci´n es imaginaria (No tiene soluci´n real) o o Ejemplo1: Resolver por formula general. x2 − 9x − 112 = 0 x=
√ −b± b2 −4ac 2a

a=1 b=-9 c=-112 Discriminante b2 − 4ac = (−9)2 − 4(1)(−112) =81 − 4(−112) =81+448 529 >0 Tiene 2 soluciones

x=

−(−9)±

√

(−9)2 −4(1)(−112) 2(1)

3

√ x= x= x=
9± 81−4(−112) 2 √ 9± 81+448 2 √ 9± 529 2

x1 =

9±23 2

x1 = 9+23 2 x = 32 2 x1 = 16

x2 = 9−23 2 x2 = −14 2 x2 = −7 Ejercicios 1.2Resuelve la siguiente ecuacion de segundo grado por el metodo de formula general. a) 2x2 + 3x − 2 = 0

1.2.2.

Soluci´n de la ecuaci´n cuadr´tica de la forma ax2 + bx +c = 0 o o a por el m´todo de completar cuadrados e

Este m´todo consiste en transformar un binomio de la forma x2 + bx en un trinomio cuadrado e perfecto: Trinomio Cuadrado Perfecto a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

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Para obtener las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0, por el m´todo de completar ıces o a e cuadrados se procede de la siguiente forma: 1. Si elvalor de a es diferente de 1, se divide cada termino de la ecuaci´n entre el valor del o cociente. 2. Se traslada la otro lado de la igualdad el termino independiente. 3. Se obtiene la mitad del coeficiente del segundo termino 4. Se suma este numero a ambos lados de la igualdad elevado al cuadrado 5. La ecuaci´n se escribe como un binomio al cuadrado (la ra´ del primer termino, el signo del o ızsegundo y la ra´ del tercero) y y se efect´a la operaci´n indicada en el segundo miembro de la ız u o igualdad. 6. Se obtiene la ra´ cuadrada de ambos lados de la igualdad ız 7. Se obtienen las soluciones sumando y restando los valores. Ejemplo 1: x2 + 8x = 9 Para obtener el termino faltante, tomamos en cuenta que el segundo termino del trinomio es el doble producto del primero por el ultimo: 2x() =#x En este caso 2x() = 8x Al despejar () =
8x 2x

El termino faltante es () = 4 Completamos el trinomio con el termino faltante al cuadrado x2 + 8x = 9 x2 + 8x + (4)2 = 9 + (4)2

5

Factorizando el trinomio tenemos (x + 4)2 = 9 + 16 (x + 4)2 = 25 Sacando ra´ cuadrada en ambos terminos ız √ (x + 4)2 = ± 25 x + 4 = ±5 Despejando x x = ±5 − 4 Las soluciones son: x1 = 5 − 4 y x2 = −5 − 4 x1 =1 y x2 = −9 Ejercicio 1.3: Resuelve la siguiente ecuacion por el metodo de completar cuadrados a) x2 − 10x − 56 = 0

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Cap´ ıtulo 2 Unidad 1 - Funciones Cuadr´ticas a
Definici´n: Una funci´n cuadr´tica tiene la forma f (x) = ax2 + bx + c con a diferente de cero o o a (a = 0). Ejemplo 1: f (x) = −2x + 3 es una funci´n de primer grado (no es funci´n cuadr´tica) o o a Ejemplo 2: f (x) = (−x...