MATEMATICAS IMAGEN

Compresi´on de Imagen
Marcos Mart´ın
4 de mayo de 2004

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Introducci´
on

Una imagen no variable con el tiempo (ya sea una fotograf´ıa, un fotograma...)
se puede definir como una funci´on de 2 en 3 , si la imagen es en color o de 2
en si es con niveles de gris. En ambos casos las dos variables independientes
representan el espacio bidimensional. Nos centraremos en las im´agenes con
niveles degris, ya que de este tipo son las im´agenes m´edicas que analizaremos,
pero la ampliaci´on a tres variables para la representaci´on del color, como en
los modelos RGB, YIQ o HSI, no es excesivamente complicada.
Como ocurre para cualquier tipo de funci´on, una digitalizaci´on supone una
discretizaci´on de los valores tanto de las variables independientes como de las
dependientes. De esta formapodr´ıamos decir que una imagen digital es una
funci´on discreta de dos variables discretas de la forma:
y[n1 , n2 ] n1 = 1, ..., M ; n2 = 1, ..., N

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donde n1 y n2 son las variables dimensionales discretas, M × N es el tama˜
no
de la imagen e y es el valor de la intensidad en cada punto. A cada punto de
la imagen dado por las coordenadas (n1 , n2 ) se le denomina pixel.
La intensidad, por elcar´acter digital de la imagen, no puede tomar cualquier
valor sino que est´a limitado a un rango discreto. Esto podr´ıa alejar una imagen digitalizada de su original continua, pero hay que tener en cuenta el funcionamiento del ojo humano. La visi´on humana no puede percibir cualquier
variaci´on en la intensidad ∆I sino que es necesario que dicha variaci´on supere
un m´ınimo para que pueda ser distinguidala intensidad I de I +∆I. De hecho,
la variaci´on m´ınima perceptible es proporcionalmente constante (∆I/I = Cte),
es decir, que el ojo tiene una respuesta logar´ıtmica. A esto hay que a˜
nadir que
existe una p´erdida de sensibilidad a la variaci´on en los extremos, con lo que no
es infinito el intervalo de intensidades que se pueden percibir. El efecto conjunto de ambas caracter´ısticas conllevaque el ser humano s´olo puede percibir un
n´
umero limitado de niveles de intensidad o niveles de gris. En diversos estudios realizados con m´
ultiples observadores tipo se concluy´o que el ser humano
puede distinguir una media de 100 niveles logar´ıtmicos de intensidad. De esta
forma, nos bastar´ıa con que el conjunto de valores posibles de la intensidad
discreta tuviera 100 componentes para queel ser humano no percibiera diferencia entre la imagen original y la digitalizada. Dado que se trabaja con bits,
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ser´ıan suficientes 7 bits (27 = 128 niveles) por pixel para evitar p´erdidas perceptibles en el proceso de digitalizaci´on. Sin embargo, normalmente se utilizan
8 bits (28 = 256 niveles) por pixel, dado que es el n´
umero de bits con el que se
trabaja normalmente (8 bits = 1 byte);adem´as, se ofrece un margen para que
los posibles procesos a los que se sometan las im´agenes no repercutan en una
p´erdida de fidelidad con respecto al original. Debemos tener en cuenta que todo lo expuesto es v´alido si la imagen tiene como destinataria la visi´on humana.
Para el an´alisis computerizado ser´ıa necesario un n´
umero considerablemente
mayor de bits por pixel. Sin embargo, ennuestro caso es bastante asumible
que la im´agenes m´edicas ser´an analizadas por el ojo humano, de hecho sus
destinatarios ser´an los especialistas en la materia. En las im´agenes m´edicas
en general los distintos niveles de gris que estudiar´a el especialista representan
alguna propiedad qu´ımica o f´ısica de la estructura objeto del an´alisis. Por
ejemplo en una radiograf´ıa de rayos-Xdigitalizada el valor del nivel de gris de
cada punto expresa la densidad ´optica del ´area correspondiente; en una tomograf´ıa el valor del nivel de gris est´a relacionado con el coeficiente de atenuaci´on
lineal de tejido, etc.
Hasta ahora hemos hablado del car´acter discreto de la percepci´on humana
en lo que se refiere a niveles de intensidad. Sin embargo, el ojo humano tambi´en realiza un procesado...