Matematicas iv unidad 1
Páginas: 15 (3679 palabras)
Publicado: 7 de septiembre de 2010
1.1 Definición y origen de los números complejos.
Un poco de historia: El matemático Diofanto, en el año 275 enunció la siguiente ecuación: 6x2 – 43x + 84 = 0, cuya solución expresó como: ninguna solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. (En una antología griega compilada por un tal Metrodorus en el año 500 se lee (en latín) lo que parecería ser el epitafiodel más grande algebrista griego, Diofanto. Pero es bastante curiosa: está en forma de enigma. De ser cierto, las últimas palabras del autor de Aritmética, que vivió alrededor del siglo III (aproximadamente, pues no se sabe casi nada de su vida), habrían sido en clave matemática. Su epitafio dice así: “¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! laduración de su vida, cuya sexta parte fuera niño. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba.Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo,y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia delcálculo, llegó al término de su vida.” Los datos dados permiten determinar la edad a qué murió Diofanto. Si llamamos x a la edad, entonces tenemos: "X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X" de donde se concluye que vivió 84 años.) En 1777 el matemático suizo Leonard Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i (por imaginario) Esta idea también sugerida por Jean Robert Argand, la cual fue utilizadamás tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Introducción: Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se analizó el signo del discriminante b2 – 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias ocomplejas. Veamos la solución de la ecuación x2 + 1 = 0, en este caso los coeficientes a, b y c de la ecuación de segundo grado son a = + 1, b = 0, c = + 1, el discriminante es - 4 * (1) * (1) = - 4, por lo tanto la ecuación solo tiene raíces imaginarias, para resolver las raíces, utilizamos la ecuación general
√ √
de la cual no logró determinar
x1,2 =
√
, al sustituir valores nos da:
√=
√
, aquí introducimos la
√
definición de número complejo i2 = -1, la cual al sustituir en la ecuación nos queda
√
,=
, como i2 si tiene raíz, lo mismo que 4, queda
, x1 = i, x2 = -i
Ejemplos: Encontrar la solución (raíces) de i. ii. iii. iv. x2 + 4 = 0 x2 + 3 = 0 x2 + 8 = 0 x2 + 9 = 0
Respuestas: i. x1,2 =
√ √
, x1,2 =
√
, =
√
, =
√
=
√
,=
,
x1,2 = ii.
, x1 = 2i, x2 = -2i x1,2 =
√ √
, x1,2 =
√
, =
√
, =
√
=
√
, =
,
x1,2 = iii.
, x1 = 1.73i, x2 = -1.73i x1,2 =
√ √
, x1,2 =
√
, =
√
, =
√
=
√
, =
, , x1 = 2.83i, x2 = -2.83i
x1,2 = iv.
x1,2 =
√
√
, x1,2 =
√
, =
√
, =
√
=
√
, =
,
x1,2 =
, x1 = 3i, x2 = -3i
Otraopción de respuesta es simplemente tratar de despejar a la variable x de cada una de las ecuaciones y nos da: i. x2 + 4 = 0, x2 = - 4, x1,2 = √ ,= √ ,= √ ,= x1 = 2i, x2 = - 2i
ii. iii. iv.
x2 + 3 = 0, x2 = - 3, x1,2 = x2 + 8 = 0, x2 = - 8, x1,2 = x + 9 = 0, x = - 9, x1,2 =
2 2
√ √ √
,= ,= ,=
√ √ √
,= ,= ,=
√ √ √
,= ,= ,=
x1 = 1.73i, x2 = - 1.73i x1 = 2.83i, x2 = -2.83i x1 = 3i, x2 = - 3i
Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra i al conjunto de los pares de...
Un poco de historia: El matemático Diofanto, en el año 275 enunció la siguiente ecuación: 6x2 – 43x + 84 = 0, cuya solución expresó como: ninguna solución. Este problema planteado por Diofanto tardaría siglos en resolverse. (En una antología griega compilada por un tal Metrodorus en el año 500 se lee (en latín) lo que parecería ser el epitafiodel más grande algebrista griego, Diofanto. Pero es bastante curiosa: está en forma de enigma. De ser cierto, las últimas palabras del autor de Aritmética, que vivió alrededor del siglo III (aproximadamente, pues no se sabe casi nada de su vida), habrían sido en clave matemática. Su epitafio dice así: “¡Caminante! Aquí yacen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar, ¡oh maravilla! laduración de su vida, cuya sexta parte fuera niño. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba.Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo,y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡ay!, niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia delcálculo, llegó al término de su vida.” Los datos dados permiten determinar la edad a qué murió Diofanto. Si llamamos x a la edad, entonces tenemos: "X/6 + X/12 + X/7 + 5 + X/2 + 4 = X" de donde se concluye que vivió 84 años.) En 1777 el matemático suizo Leonard Euler simbolizó la raíz cuadrada de -1 con la letra i (por imaginario) Esta idea también sugerida por Jean Robert Argand, la cual fue utilizadamás tarde por Carl Friedrich Gauss para dar la interpretación geométrica de los números complejos. Introducción: Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se analizó el signo del discriminante b2 – 4ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias ocomplejas. Veamos la solución de la ecuación x2 + 1 = 0, en este caso los coeficientes a, b y c de la ecuación de segundo grado son a = + 1, b = 0, c = + 1, el discriminante es - 4 * (1) * (1) = - 4, por lo tanto la ecuación solo tiene raíces imaginarias, para resolver las raíces, utilizamos la ecuación general
√ √
de la cual no logró determinar
x1,2 =
√
, al sustituir valores nos da:
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, aquí introducimos la
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definición de número complejo i2 = -1, la cual al sustituir en la ecuación nos queda
√
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, como i2 si tiene raíz, lo mismo que 4, queda
, x1 = i, x2 = -i
Ejemplos: Encontrar la solución (raíces) de i. ii. iii. iv. x2 + 4 = 0 x2 + 3 = 0 x2 + 8 = 0 x2 + 9 = 0
Respuestas: i. x1,2 =
√ √
, x1,2 =
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x1,2 = ii.
, x1 = 2i, x2 = -2i x1,2 =
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x1,2 = iii.
, x1 = 1.73i, x2 = -1.73i x1,2 =
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x1,2 = iv.
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,
x1,2 =
, x1 = 3i, x2 = -3i
Otraopción de respuesta es simplemente tratar de despejar a la variable x de cada una de las ecuaciones y nos da: i. x2 + 4 = 0, x2 = - 4, x1,2 = √ ,= √ ,= √ ,= x1 = 2i, x2 = - 2i
ii. iii. iv.
x2 + 3 = 0, x2 = - 3, x1,2 = x2 + 8 = 0, x2 = - 8, x1,2 = x + 9 = 0, x = - 9, x1,2 =
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√ √ √
,= ,= ,=
√ √ √
,= ,= ,=
√ √ √
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x1 = 1.73i, x2 = - 1.73i x1 = 2.83i, x2 = -2.83i x1 = 3i, x2 = - 3i
Vamos ahora a estudiar los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra i al conjunto de los pares de...
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