Matematicas Limites Derivados

Limites derivados

Definición analítica de derivada como un límite
Esquema que muestra los incrementos de la función en x y en y.
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto objeto como una variable, un vectorunitario, una función base, etc.
En física, coeficiente es una expresión numérica que mediante alguna fórmula determina las características o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando la gráfica de la derecha, el coeficiente del que hablamos vendría representado en el punto de la función por el resultado de la división representada por la relación , que como puede comprobarse en lagráfica, es un valor que se mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el tríangulo rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloza la derivada, puesto que el acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como por la izquierda de manera simultánea.
Considerando la función f definida en el intervalo abierto I y un punto a fijo en I, se tiene que la derivada de la función f en el punto se define como sigue:

,
si este límite existe, de lo contrario, , la derivada, no está definida. Esta últimaexpresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento continuo uniforme acelerado en cinemática.
Aunque podrían calcularse todas las derivadas empleando la definición de derivada como un límite, existen reglas bien establecidas, conocidas como teoremas para el cálculo de derivadas, las cuales permiten calcular la derivada de muchas funciones de acuerdo a su forma sin tener que calcularforzosamente el límite. Tales reglas son consecuencia directa de la definición de derivada y de reglas previas, como puede apreciarse en todo buen texto de cálculo infinitesimal.
También puede definirse alternativamente la derivada de una función en cualquier punto de su dominio de la siguiente manera:
,
La cual representa un acercamiento de la pendiente de la secante a la pendiente de latangente ya sea por la derecha o por la izquierda según el signo de . El aspecto de este límite está relacionado más con la velocidad instantánea del movimiento uniformemente acelerado que con la pendiente de la recta tangente a una curva.
No obstante su aparente diferencia, el cálculo de la derivada por definición con cualquiera de los límites anteriormente expresados, proporciona siempre el mismoresultado.
.
f es una función, se escribe la derivada de la función respecto al valor en varios modos:
• {Notación de Lagrange}
se lee «efe prima de equis»
• o {Notaciones de Cauchy y Jacobi, respectivamente}
se lee « sub de », y los símbolos D y d deben entenderse como operadores.
• { Notación de Newton}
se lee «punto » o « punto». Actualmente está en desuso en Matemáticaspuras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
• , ó {Notación de Leibniz}
se lee «derivada de ( ó de ) con respecto a ». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto aotra como un cociente de diferenciales.
La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de en el punto , se escribe:
para la primera derivada,
para la segunda derivada,
para la tercera derivada,
para la enésima derivada ( ). (También se pueden usar números romanos).
Para la función derivada de en , se escribe . De...