matematicas longitud de una curva

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL
FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS Y FISICAS
CARRERA DE INGENIERIA CIVIL
MATEMATICAS II
PROFESOR: ING. Marcos Montenegro
GRUPO: 4
INTEGRANTES:
Marjorie Gavilanes
Kerly Oñate
Cristina Mina
Enrrique Basantes
ECUACIONES PARAMETRICAS
En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valoresarbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un móvil.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizandos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera  equivale a la expresión .
Esta representación tiene la limitación de requerir que lacurva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes,cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».


EJEMPLO
Sea  la ecuación general de una recta, entonces caben la ecuaciones paramétricas: , .
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro(habitualmente se consideraque t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma , donde ei representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cadapunto  le corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos una es distinta de 0.Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial

donde êi representa al vector unitario correspondiente a la coordenada i-ésima. Por ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cost, y = sen t. Podemos reunir estas ecuacionescomo una sola ecuación de la forma
.







LONGITUD DE UNA CURVA
La longitud de arco de una curva, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegadadel calculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formula General 


La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible. , escogiendo una familia finita de puntos en C, y aproximar la longitud...