matematicas para la fisica

CAPITULO 2
MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA

2.1

Vectores.

2.1.2

Vector.

2.1.1

Introducción.

Lo

definiremos

Cuando queremos referirnos al tiempo que
demanda un suceso determinado, nos

como

elementos

que

poseen tres atributos: magnitud, dirección
y sentido

basta con una magnitud (se demoró 3

Los vectores son elementos abstractos,

segundos, saltó durante 1 minuto, volverá

pero puedenrepresentarse en el espacio a

el próximo año, etc.). Existen muchas

través de segmentos dirigidos (flechas)

magnitudes físicas que pueden describirse

cuya longitud es proporcional a la del

perfectamente de esta manera simple, y

vector representado.

que reciben el nombre de escalares.

A

Son escalares el tiempo, la masa, la
densidad, el volumen, la temperatura y
origen

otras magnitudes queluego definiremos
apropiadamente.
También

existen

Representación gráfica de un vector

Fig 2. 1

magnitudes

como

el

desplazamiento, la fuerza, la aceleración y
otras, que para quedar perfectamente
descritas necesitan dirección, además de la
magnitud (¡camine 5 metros!, es una
solicitud muy ambigua que puede conducir
a una posición final distinta para cada
persona que la reciba; en cambio,¡camine
5 metros por Alameda hacia el Este!

2.1.3

Vectores equipolentes.

Dos vectores son equipolentes si son
iguales

sus

magnitudes

se

denominan

respectivas

implica que un vector puede estar en
cualquier punto del espacio sin alterar sus
características, define a los vectores libres.
C
B

A
D

vectoriales, y operan según el Álgebra
Vectorial que recordaremos brevemente a
continuación.14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl

magnitudes

direcciones y sentidos. Esta definición, que

producirá exactamente el efecto requerido).
Estas

extremo

Fig 2. 2

Vectores equipolentes:

r r r r
A=B=C=D

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2.1.4

En

Vectores opuestos.

el

caso

de

procedimiento
Dos vectores son opuestos cuando susdos

vectores

produce

un

este

triángulo

formado por los vectores y la resultante.

magnitudes y sus direcciones son iguales y

Otra forma gráfica de sumar dos vectores

sus sentidos son opuestos.

consiste en unir los orígenes y trazar líneas
auxiliares paralelas a los vectores, que

A

pasen por el extremo del otro.

B
Vectores opuestos:

Fig 2. 3

r r
A=- B

La resultante es el vector queune los
orígenes comunes con la intersección de
las

2.1.5

Ponderación de Vectores.

paralelas

(método

del

paralelogramo).

El producto entre un escalar m y un vector
r
A se conoce como ponderación del vector.

A

R

A

A

B
B
Fig 2. 6

Ponderación de vectores:

Fig 2. 4

auxiliares

Resultante: Método del Paralelogramo

r r
B=2A

Note que el orden de la suma no afecta el
resultado, mostrandoque es conmutativa:

Suma gráfica de vectores.

r
r r r
A+ B =B+A

Gráficamente la suma o RESULTANTE de

r r r
Si sumamos los vectores A, B y C de la

vectores se obtiene uniendo sucesivamente

figura anterior a través del método del

los extremos y orígenes de ellos, como se

paralelogramo, veremos claramente que:

2.1.6

muestra en la figura.

El vector suma o

resultante se obtiene uniendo elprimer

r

r

r

r

r

r

( A + B ) + C = A + (B + C )

origen con el último extremo.

Mostrando que la suma es asociativa (se

B

recomienda comprobarlo gráficamente).

C

A
R
Fig 2. 5

Resultante:

r r r r
A+B+C=R

14/03/2007 Jorge Lay Gajardo. jlay@usach.cl

Por otra parte, es innecesaria la definición
r r
de resta, pues claramente A-B es la suma
r
r
de A y el opuesto de B .

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r
r 1 A
ˆ
A=A =
A A

r r r
r
A- B = A + -B

( )
-B

R`

A

A= AA

A
Fig 2. 9

Vector Unitario en la dirección de

r
A

Resta de vectores = suma del opuesto

Fig 2. 7

Si consideramos el paralelogramo que
r
r
resulta de los vectores A y B y las

2.1.8

Vector nulo.

paralelas auxiliares, observamos que la
suma y la resta...