matematicas proposiciones

© María Cristina González Mazuelo. Instituto Tecnológico Metropolitano. 2013.

DEFINICIÓN DE PROPOSICIÓN
Una proposición es una expresión , enunciado o declaración que tiene
sentido, mediante la cual se afirma o se niega algo y que puede ser
verdadera o falsa

Ejemplo:

Cali no es la capital del departamento de Antioquia
Cris is the french teacher

𝐶𝑎𝑑𝑎 𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜𝑉
𝑎𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑟 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛.

Ejemplos:

𝑇𝑟𝑢𝑒 ó 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜 𝐹

𝐹𝑎𝑙𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒

Es rico estudiar matemáticas (V) I like math (V)
3 + 2 =8 (F)

𝐿𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 … 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠, 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑟𝑒𝑐𝑖𝑏𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠.

Ejemplo:

p : 7 es un número primo

p : 7 is a prime number

q: ningún hombre es inmortal

q: no human isinmortal

Simples

Compuestas
El sol es verde ó la rana es un anfibio

Febrero no tiene 30 días
Frebruary does n’t 30 days
The sun is Green and the frog is
amphibian

Conectores lógicos

𝑛𝑜
¬
𝑛𝑜𝑡

𝑜
∨
𝑜𝑟

𝑦

𝑆𝑖 … 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑆𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 …
∧
→
↔
𝑎𝑛𝑑
𝑖𝑓 𝑎𝑛𝑑 𝑜𝑛𝑙𝑦 𝑖𝑓 …
𝐼𝑓 … 𝑡ℎ𝑒𝑛

𝐸𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑜 𝑚á𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛.

Negación:
Consiste en cambiar el valor de verdad. (no). Se representa con ¬𝒑 𝒐 ~𝒑
Ejemplo:

𝑝: All students are smart

𝑝: Todos los estudiantes son inteligentes
¬𝑝: No es cierto que todos los estudiantes son inteligentes

¬𝑝: Not all students are smart

¬𝑝: Todos los estudiantes no son inteligentes

Tabla de verdad:
𝑝

¬𝑝

𝑽
𝑭

𝑭
𝑽Propiedades
¬¬𝑝 ≡ 𝑝

Disyunción:
Se representa con ∨. Se lee "p o q"
Ejemplo:

𝑝: Natalia es artista. (Natalia is an artist)

𝑝 ∨ 𝑞: Natalia es artista o profesora
𝑝 ∨ 𝑞: Natalia is an artist or teacher

𝑞: Natalia es profesora. Natalia is a teacher)

• Se pueden cumplir las dos al mismo tiempo.
• Es exclusiva cuando se cumple una sola.

Tabla de verdad:
𝑝

𝑞

𝑽

𝑽

𝑽
𝑭

𝑭
𝑽𝑝∨𝑞
𝑽
𝑽
𝑽

𝑭

𝑭

𝑭

Propiedades
𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑝∨𝑞 ≡𝑞∨𝑝

¬𝑝 ∨ 𝑞
𝑝
𝑞

𝑝 ∨ ¬𝑞
𝑞
𝑝

𝑝∨𝑝

𝑝

𝑝

𝑝∨𝑟

𝑝
𝑞
𝑝∨𝑞

Conjunción:
Se representa con ∧. Se lee “p y q"
Ejemplo:

𝑝: El saco es morado. (The sweter is purple)
𝑞: El jean es azul. (The jean is blue)

Tabla de verdad:

𝑝 ∧ 𝑞: El saco es morado y el jean azul
𝑝 ∧ 𝑞: The sweter is purple and the jean isblue.

Propiedades
𝐶𝑜𝑛𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑝

𝑞

𝑽

𝑽

𝑽

𝑭

𝑭
𝑽

𝑝∧𝑞
𝑽
𝑭
𝑭

𝑭

𝑭

𝑭

𝑝∧𝑞
𝑝
𝑞
𝑝
𝑞
𝑝∧𝑞

𝑝∧𝑞 ≡𝑞∧𝑝
𝑝∧𝑝
𝑝

Condicional:
Se representa con →. Se lee"Si p entonces q"
Ejemplo:

𝑝: El día es soleado. (The day is sunny)

𝑝 → 𝑞: Si el día es soleado entonces es caluroso

𝑞: El día es caluroso. (The day is hot)

𝑝 → 𝑞: If the day is sunny then is hot• E𝑛 𝑝 → 𝑞, 𝑎 "𝑝" 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑎 "𝑞" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒
• 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑜 𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

Propiedades

Tabla de verdad:

𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑝 ∨ 𝑞
𝑝

𝑞

𝑽

𝑽

𝑽
𝑭

𝑭
𝑽

𝑝→𝑞
𝑽
𝑭
𝑽

𝑭

𝑭

𝑽

𝐶𝑜𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒𝑐í𝑝𝑟𝑜𝑐𝑜

𝑝→𝑞
𝑝
𝑞
𝑝→𝑞
¬𝑞
¬𝑝
𝑝→𝑞
q→𝑟
𝑝→𝑟

𝑝 → 𝑞 ≡ ¬𝑞 → ¬𝑝
¬𝑞 → ¬𝑝
𝑝→𝑞
𝑝
𝑞
𝑝→𝑞

Condicional:
Un casoparticular del condicional es la Implicación.
Se dice que un condicional es una Implicación lógica o deducción cuando se da
una relación de causa y efecto entre el antecedente y el consecuente, bajo un
condicional 𝑝 → 𝑞 verdadero y 𝑞 verdadera. Se representa con el símbolo: " ⇒ "

𝒑
Hipótesis
Ejemplo:

⇒

𝒒

Se lee: 𝑝 implica 𝑞, o 𝑞 se deduce de 𝑝,
o 𝑞 es una consecuencia lógica de 𝑝.Tesis

𝒑: Si llueve torrencialmente en Medellín
𝒒: Se inundan algunos barrios de la ciudad

𝒑 ⟹ 𝒒: Si llueve torrencialmente en Medellín entonces se inundan algunos barrios de la ciudad.

Causa
No es implicación:

Efecto

Si baja la temperatura entonces cae nieve

Los teoremas y propiedades es las matemáticas son ejemplos de implicación:
Si 𝑥 + 3 = 5 entonces 𝑥 = 2...