Matematicas T1

TEMA 1 – MATRICES

1-. Definiciones
Una matriz es una serie de números reales organizados en filas (m) y columnas (n)

Am,n=a1,1⋯a1,n⋮⋱⋮am,1⋯am,n= aijm,n

Dos matrices son iguales cuando todos los elementos son iguales y por lo tanto tienen que tener la misma dimensión

B = A bij = aij

Ejemplos:
A2,3=102-221 → a2,3=1

A3,1=a1,1a2,1a3,1→MatrizColumna

A1,3=a1,1a1.2a1,3→Matriz Fila

2-. Operaciones con matrices
Suma y resta (A ± B)
Para sumarlas o restarlas deben tener la misma dimensión
A±B=aij±bij

213-102103--212101402=401-203-301
Propiedades
* Conmutativa A+B=B+A
* Asociativa A+B+C=A+B+C
* Elemento neutro A+O=A
* Elemento opuesto A+-A=O

Producto de una matriz por un nº real (k · A)
Multiplicamoscada elemento de la matriz por el número real (k)

2·-124-3=-248-6

Propiedades
* Distributiva k+l·A=k·A+l·A ó kA+B=k·A+k·B
* Asociativa k·l·A=k·l·A=k·l·A
* Elemento neutro 1·A=A
* Cero 0·A=O
Producto de matrices (Am,p · Bp,n)
Cuando hablamos del producto de matriz fila por matriz columna en el caso de que tengan el mismo número de filas que de columnasa1,1a1,2a1,3…a1,m·b1,1b2,1b3,1…bn,1=a1,1·b1,1+a1,2·b2,1+…+a1,m·bn,1

La multiplicación de matrices normales, se realiza multiplicando cada fila de la primera matriz por todas las columnas de la segunda matriz.

Son de la forma Am,p·Bp,n

a1,1a1,2…a1,pa2,1a2,2…a2,p…am,1…am,2… ……am,p·b1,1b1,2…b1,pb2,1b2,2…b2,p…bm,1…bm,2… ……bm,p==F1A·C1(B)F1A·C2(B)…F1A·Cn(B)F2A·C1(B)F2A·C2(B)…F2A·Cn(B)…FmA·C1(B)…FmA·C2(B)……FmA·Cn(B)

Am,p·Ap,n=ABm,n

Ejemplo:

2-1-1112011·120113=103914

Propiedades que cumple:
* Asociativa A·B·C=A·B·C=A·B·C
* Distributiva A·B±C=A·B±A·C ó B±C·A=B·A±A·C
* Asociativa por nº real k·A·B=k·A·B=k·A·B

Propiedades que no cumple:
* No es conmutativa A·B≠B·A
* A·B=O ≯A=0 ó B=0
* A·B=A·C ≯ B=C
* A±B2 ≠ A2+2AB+B2 ya que A·B≠B·A
*A+B·A-B ≠ A2-B2

3-. Transpuesta de una matriz
At Consiste en cambiar filas por columnas

A=1-20113 At=101-213

Propiedades:
* Att=A
* A+Bt=At+Bt
* k·At=k·At
* A·Bt=Bt·At → A·B·C…t=…Ct·Bt·At

4-. Matrices cuadradas
Tienen el mismo nº de filas que de columnas

An=a1,1⋯a1,n⋮⋱⋮am,1⋯am,n

Diagonal principal: a1,1 a2,2 a3,3 … am,n
Diagonal secundaria: am,1… a1,n
Traza (A) = tr (A) : a1,1 + a2,2 + a3,3 + … + am,n

Matriz Diagonal
Todos los elementos distintos a la diagonal principal son ceros

A=-100000002

Matriz Escalar
Es una matriz diagonal dondo todos los elementos de la diagonal son iguales

A=k000k000k k∈R

La matriz identidad es un tipo de matriz escalar que tiene 1 como diagonal principal
Se denomina Ix donde X es el nºde filas / columnas
Es el elemento neutro de cualquier matriz cuadrada

I3=100010001 An·In=In·An=An

Matriz Triangular
Pueden ser superiores (por debajo de la diagonal todos los elementos son ceros) o inferiores (por encima de la diagonal todos los elementos son ceros)

A=130021000 B=-100420103

Matriz Simétrica
Es aquella que tiene simetría con respecto a aldiagonal. Se cumple At = A

A=1-1-3-124-343 aij=aji→ a12=a21

Matriz Antisimétrica
Es aquella matriz es la que la transpuesta es igual a la opuesta, es decir At = -A

A=024-20-5-450 aij=-aji→ a1,1=-a1,1

5-. Matriz Inversa
A-1 // A·A-1=A-1·A=I

Si existe A-1, es único (no siempre existe)
Si existe A-1, entonces decimos que A es invertible ó no singular
Si existeA-1, entonces decimos que A es no invertible ó singular

Propiedades:
* A·A-1=A-1·A=I
* A-1-1=A
* At-1=A-1t
* A1·A2·…·An-1=an-1·…·a2-1·a1-1

Cálculo de matrices inversas
Si tienen dimensión 2

A=a1,1a1,2a2,1a2,2 A-1=1A·a2,2-a1,2-a2,1a1,1

Determinante de A A=a1,1·a2,2-a1,2·a2,1
* Si el determinante de A es igual a cero, no existe la inversa...