Matematicas vol1

Capítulo 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.1 NUMEROS NATURALES
La idea de numero aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos, animales, etc. De ahí el nombre “ úmeros naturales”, denotados por IN, y es porque n nacieron casi de forma natural, dentro de este contexto los números naturales son los siguientes:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Los Postulados de Peanodescriben de manera unívoca al conjunto de los números naturales de la siguiente forma: • • • • • Sea el número natural 1 Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1. No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 1. Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si a ? b, entonces a + 1 ? b + 1. Si S es un subconjunto de los númerosnaturales tal que 1. 1 está en S 2. si n está en S entonces n+1 está en S, entonces S es el conjunto de los números naturales

1

Los postulados mencionados anteriormente dan una base matemática a la definición de números naturales, sobre ellos trabajaremos en todo lo relacionado a la teoría de números.

1.2 Mínimo común múltiplo.
“El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números es el menorde los múltiplos que es común a cada una de estas cantidades”. Ejemplo: Determinemos el m. c. m. entre 6; 8 y 12. Utilizando la famosa tabla en la que vamos dividiendo los números dados por los números primos comenzando desde el 2 (cuando hay algún par). Cuando la división no da exacta se "baja" el número. 6 3 3 3 1 El m.c.m. es 2·2·2·3 = 24 8 4 2 1 12 6 3 3 1 : : : : 2 2 2 3

1

GiuseppePeano: (1858-1932), matemático italiano, fue el creador del sistema axiomático del cual derivan la aritmética de los números naturales

1

1.3 Máximo común divisor.
El máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es el número mayor que los divide. Ejemplo: Determinemos el m. c. d. entre 18 y 24. Determinemos los divisores de 18, o sea números que dividen al 18. D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}Determinemos ahora los divisores de 24, o sea números que dividen al 24. D(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Si observas verás que hay varios números que son divisores comunes (1, 2, 3, y 6), pero el máximo, o sea el mayor es 6, por tanto el m.c.d es este número.

hemos usado el termino “que lo divide”, esto quiere decir que si dividimos un natural por otro natural y el resultado es un naturalentonces esto quiere decir que lo divide Para facilitar la búsqueda de divisores de un número tenemos Las siguientes reglas de divisibilidad:

1.3.1 Reglas de divisibilidad.
Por 2: Cuando su último dígito es 0 ó par. Por 3: Cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Ejemplo 324 es divisible por 3 ya que 3 + 2 + 4 = 9 y el 9 es divisible por 3. Por 4: Cuando los dos últimos dígitos delnúmero son 0 o un múltiplo de 4. Ejemplo: 3516; 4300 Por 5: Cuando el último dígito del número es 0 ó 5. Por 6: Si lo es por 2 y 3 a la vez. Por 7: Esta regla es demasiado compleja, por lo que es mejor efectuar la división directamente.

1.4 Números Cardinales
Es el conjunto formado por los Naturales y el cero.

INo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
Como subconjunto de los números cardinales, tenemosa los números dígitos que son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2

1.5 Subconjuntos de los números naturales.
1.5.1 Números Pares {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}, Los cuales se pueden representar algebraicamente como 2n, por ser todos ellos múltiplos de 2. 1.5.2 Números Impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, ...} ¿Cómo se representan algebraicamente? Tenemos dos opciones (2n + 1) ó (2n - 1).Estas representaciones algebraicas las utilizaremos permanentemente, así que no las olvides

1.5.3 Números Primos Un número, mayor o igual a 2, es primo cuando es divisible solamente por 1 y por sí mismo. Ejemplo: El 3 es primo ya que sólo es divisible por 1 y por 3. El 12 no es primo ya que es divisible por 1, por 2, por 3, por 4, por 6 y por 12.

“Los números naturales mayores que 1 que...