Matematicas i

MATEMÁTICAS UNIVERSITARIAS UNIDAD III: TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
MEDICIÓN DE ÁNGULOS Equivalencia en grados y radianes para ángulos En una circunferencia se cumple que
Perímetro 2 r   2 radio r

y




x

2 rad  360  rad  180   rad  90 rad  45 2 4   rad  60 rad  30 3 6 3 rad  270 0 rad  0 2 1 rad  57.3

Ángulo en posición normal:  La mediciónde un ángulo se realiza en el sentido de giro contrario al de las agujas del reloj. En este caso el ángulo se considera positivo.  En el sentido contrario (a favor del giro de las agujas del reloj), el ángulo se considera negativo. Trazar los siguientes ángulos

y
a.




x

b. c. d.





3 rad 4   rad 3  5  rad 4   rad 2



Matemáticas Universitarias.Unidad III Mtro. Raúl Rodríguez A. FIT – UM.

1

Razones trigonométricas En todo triángulo rectángulo se cumple que
C.O. Hip Hip sec  C. A. sin  
C. A. Hip Hip csc  C.O. cos  

C.O. C. A. C. A cot   C.O. tan  

Cateto Opuesto (C.O.)

Hipotenusa


Cateto Adyacente (C.A.)

Valores para las funciones trigonométricas de ángulos notables Se consideran ángulos notables a losángulos 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°. Estos ángulos se presentan frecuentemente en cálculos en ciencias e ingeniería. Los valores de las funciones trigonométricas para estos ángulos se obtienen fácilmente a partir de las siguientes construcciones.
El círculo unitario (r = 1)

Como sin  
Hipotenusa = 1

CO H

 sin   y CA  cos   x H

1

 x

y

Así también cos  Para

  0 rad

se tiene que

Para  

 2

sin 0 0  0 cos 0 1 cos 0 1 1 1 cot 0     sec 0   1 sin 0 0 cos 0 1 1 1 csc 0    sin 0 0
sin 0  0 cos 0  1 tan 0 
rad se tiene que

sin


2

 1 cos


2

0

tan 0 
1

cot


2



cos



sin 0 1   cos 0 0
csc

2  0 0  1 sin 2

sec


2



cos


2



1  0


2

1  1  1 sin 2

1

Para  

 4

rad. Se construye un triángulo rectángulo isósceles, con lados iguales

unitarios (miden 1 unidad), y por Teorema de Pitágoras la hipotenusa medirá continuación se usan las definiciones para las razones trigonométricas.
Matemáticas Universitarias. Unidad III Mtro. Raúl Rodríguez A. FIT – UM.

2 .A

2

1

 4

2
 4

sin

1Para  

1 2  4 4 2 2   1 tan  cot   1 4 4 1   2 sec  csc   2 4 4 1  cos 





 6

rad y



 3 rad

Se construye un triángulo equilátero, con lados que midan 2 unidades. Trazar una altura, que a la vez será mediatriz y bisectriz. Se forman dos triángulos rectángulos congruentes, donde la hipotenusa mide 2 y un cateto mide 1; el otro cateto se obtiene por teorema dePitágoras y mide 3 por. Utilizar uno de los 2 triángulos rectángulos y usar las definiciones para las razones trigonométricas.

2
 3

 3

2
 3

 6
3

2
 3

1 2

1

Se ilustran resultados para algunas razones trigonométricas para


3

y


6

rad

sin

3 3 2  2 csc  3 3 



cos


3



1 2

cos


6



3 2

Racionalizando eldenominador

1 3  6 3 3 2 3 2 3   3 3 3 tan 
 2 tan 2



csc2
Ejemplo: Calcular el valor numérico de Solución





3 6 3 sin 2  cos 4  2

Matemáticas Universitarias. Unidad III Mtro. Raúl Rodríguez A. FIT – UM.

3

csc2



3 6 3 sin 2  cos 4  2

 2 tan 2



2 3  3    2  3   3       1  2 4 (1)  (1)

2

2

Radianes 0 Grados 0Seno 0 Coseno Tangente Secante Cosecante Cotangente 1 0 1


6 30 1


4 45 2

Ángulo




2 90 1

3 60

2

2 2

3
1

3 2  2 180 270 360 0 –1 0

2
0 –1 0 0 1 0 1

3 3

2

2
1

2
3



 
–1 0

 

3 2 3 3 2
3

2 2
1

2

 –1
1

2 3 3

 

 

3
0

3

Notación

csc2 x  csc x 
n

2

csc2 x  csc x 2
2

De igual...