Matematicas I

SUMATORIA
En numerosas oportunidades es necesario resolver sumas cuyos términos se generan a partir de cierta ley de formación, la notación de esa suma se hace mucho más sencilla utilizando el símbolo ( (sumatoria). Para indicar una suma de n términos que siguen la ley de formación ai se utiliza la notación [pic], en donde ai recibe el nombre de término general.
Cada término segenera asignándole a i cada uno de los números enteros que van desde 1 hasta n. Por ejemplo, si se quieren sumar los números pares entre 2 y 10, el término general es ai= 2i
[pic]
Otro ejemplo :
[pic]


Propiedades de la sumatoria
[pic] [pic]


[pic] [pic]
PRODUCTORIATambién es posible tener que multiplicar n factores que se generan por una ley de formación, en este caso se utiliza el símbolo ( (productoria).
Por ejemplo: [pic]
FACTORIAL
El factorial de un número es una función f: N0(N y se define de la siguiente manera:
[pic]
Se cumple que: [pic]
NÚMEROS COMBINATORIOS
Dados los enteros n y m (con n(m ( m(0), sedefine al número combinatorio [pic]


Propiedades de los números combinatorios
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]



COMBINATORIA
En numerosas oportunidades es necesario establecer de cuántas maneras puede ocurrir un suceso, el número decasos posibles de una situación, la cantidad de elementos de un conjunto, etc. Muchas veces esta tarea no es sencilla y la combinatoria (el “arte de contar”) brinda herramientas para resolver este tipo de situaciones.
Algunos problemas de combinatoria, que cumplen ciertas condiciones, pueden resolverse por medio de fórmulas. Sin embargo, es posible que no puedan resolverse de esta manera y lasolución se deba obtener apelando a la creatividad de quien lo resuelve, siendo válidas la enumeración de casos, el uso de diagramas de árbol, etc.


Principio de multiplicación
Si una experiencia E1 arroja m resultados, y por cada uno de estos la experiencia E2 arroja n resultados, la realización conjunta de las experiencias E1 y E2 arroja m * n resultados. Este principio puedeextenderse para tres o más experiencias.




Permutaciones
La forma de calcular de cuántas maneras se pueden ordenar n elementos en n lugares se llama permutación de n: [pic]
En la permutación cada elemento puede ocupar solamente un lugar (no puede repetirse).


Permutaciones con repetición
Si de los n elementos que se desean ordenar hay n1 elementosidénticos, n2 elementos idénticos ……… nk elementos idénticos, no se deben tener en cuenta las permutaciones entre esos elementos idénticos y entonces se utiliza la siguiente fórmula: [pic]
Variaciones
Si se desea saber de cuántas maneras se pueden ordenar n elementos en m lugares (siendo n≥m), se puede recurrir a la fórmula de variación simple:
[pic]
En la variaciónsimple cada elemento puede ocupar solamente un lugar (no puede repetirse).
Si se considera la posibilidad de que cada elemento pueda repetirse en los m lugares disponibles, se tiene una variación con repetición y se calcula de la siguiente manera [pic]
Combinaciones
Si se desea saber de cuantas maneras se pueden agrupar m elementos entre n disponibles (sin tener en cuenta elorden), se debe utilizar el número combinatorio: [pic]




Observación: existen otras fórmulas que se pueden utilizar en diversas situaciones no contempladas en esta síntesis (permutaciones circulares, combinaciones con repetición, etc.).
BINOMIO DE NEWTON
Una aplicación de los números combinatorios se observa en el desarrollo de la potencia de un binomio (con exponente...