Matematicas v

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA ING. EDUARDO LOPEZ SANCHEZ 1

INDICE
NO. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 DESCRIPCION DEL TEMA DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES ELIMINACION DE CONSTANTES ARBITRARIAS FAMILIA DE CURVAS E ISOCLINAS EL METODO DE SEPARACION DE VARIABLES DEFINICION DE FUNCIONES HOMOGENEAS RESOLUCION DEECUACIONES POR EL METODO DE COEFICIENTES HOMOGENEOS DEFINICION DE ECUACIONES EXACTAS Y METODO DE SOLUCION LA ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN FACTORES INTEGRANTES OBTENIDOS POR INSPECCION DETERMINACION DE FACTORES INTEGRANTES ECUACION DE BERNOULLI TRAYECTORIAS ORTOGONALES ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES ECUACIONESLINEALES NO HOMOGENEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES COEFICIENTES INDETERMINADOS VARIACION DE PARAMETROS ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER NO HOMOGÉNEA: VARIACION DE PARAMETROS SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES SOLUCION MEDIANTE CAMBIO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DEFINICION DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA INVERSA Y TRANSFORMADA DE DERIVADAS LATRANSFORMADA DE FUNCIONES ELEMENTALES TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA DERIVADA DE TRANSFORMADAS PAG. 2 3 7 14 17 18 20 24 27 28 32

APUNTES DE MATEMATICAS V: “ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON MATHEMATICA” EDUARDO LOPEZ SANCHEZ

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1. DEFINICION Y CLASIFICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DEFINICION. Una ecuacióndiferencial es una expresión matemática que contiene al menos una derivada de una función; existen las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) si las derivadas existentes son ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) si las derivadas son parciales. CLASIFICACION. En una EDO se identifican, generalmente, dos tipos de variables: la variable independiente y la variable dependiente.Tradicionalmente x es la variable independiente y y es la dependiente; sin embargo, cuando existe la variable t , que hace referencia al tiempo, ésta es independiente y las otras variables son dependientes. El orden de una EDO es el orden de la derivada de mayor rango en la ecuación. Así, y ′′′ + 2 xy ′′ + dependiente es y .
3

y ′ + x 2 y = e − x es una EDO de orden 3, la variable independientees x y la variable
5

⎛ d 4w ⎞ ⎛ d 2w ⎞ dw La EDO ⎜ ⎜ dt 4 ⎟ + ⎜ dt 2 ⎟ + 2 dt = 0 es de orden 4, la variable independiente es t y la variable ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
dependiente es w . Una EDO puede ser lineal o no lineal dependiendo del comportamiento de la variable dependiente; se dice que es lineal si el exponente al que está elevada la variable dependiente o sus derivadas es uno (1); si no se diceque es no lineal. Si existe el producto de la variable dependiente con sus derivadas, se considera no lineal. La siguiente tabla muestra la clasificación de algunas EDO’s: EDO

y ′′′ + 5 x y ′′ + y ′ + x y = cos(e )
4 2 −x

ORDEN 3 4

LINEALIDAD LINEAL NO LINEAL

⎛ d 4x ⎞ ⎛ d 3x ⎞ dx ⎜ 4 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + 2 = 10 ⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟ dt ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ xdx + ydy = 0
x + tx − 5 x + x = te t x cos xdx + dy =cos xdx
( D + πD − π D + 2) y = 0 4
3 2

4

3

1 3 1 3

NO LINEAL LINEAL LINEAL LINEAL

En la tabla anterior pueden observarse las notaciones matemáticas existentes para definir a la derivada de
( 4) (n) una función. La notación y ′, y ′′, y ′′′, y ,... y corresponde a Lagrange; la forma

dy d 2 y dny , ,..., n dx dx 2 dx

corresponde a Leibniz; la notación diferenciales

x, x, xdonde x =

dx se le atribuye a Newton. El uso de operadores dt

Dy, D 2 y,..., D n y posiblemente esté relacionado con la notación de Cauchy que dy = Dx y . Los operadores diferenciales serán utilizados en las ecuaciones diferenciales corresponde a dx

lineales de orden superior.

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