Matematicas y música

¿Por qué cada instrumento tiene un timbre distinto?

Cada voz humana, cada instrumento musical, suenan distintos al dar una nota concreta. Para realizar esta demostración vamos a quedarnos con una nota, por ejemplo el Do central del piano. El Do en realidad no es más que una onda con una frecuencia de 264 Hz. Por tanto, esto nos lleva a hacernos la siguiente pregunta:
¿Qué diferencia elsonido de un contrabajo al de un clarinete cuando los dos tocan un Do? Pues bien, además de ese Do, ambos instrumentos producen también una serie de notas ocultas que no somos capaces de distinguir del Do principal. Se trata de un acorde de infinitas notas más altas que la que estamos tocando que le dan ese timbre particular a cada nota y los llamamos armónicos.

Un armónico consiste en una notacuya frecuencia es múltiplo de la principal. En el caso del Do, el primer armónico sería duplicar la frecuencia del do principal, con lo que tendría una frecuencia de 528 Hz y corresponde al siguiente do de la escala (una octava). El siguiente armónico sería triplicar la frecuencia, lo cual corresponde a 792 Hz, que sería sol, una quinta justa superior al anterior do (o una doceava con respecto alprimer do).
[NOTA: Que una saquemos los múltiplos de la frecuencia de Do, no significa que sean otros Do’s en una octava más alta. La única manera de hallar las octavas altas de la nota Do es haciendo sus múltiplos potenciales (2^2, 2^3, 2^4…)]
Esto es justo lo que se hace al tocar armónicos con la guitarra, dividir la cuerda en dos partes iguales, tres, cuatro... Para simplificar, basta condecir que lo que hacen los instrumentos por lo bajo (con esto me refiero a sonidos imperceptibles para el oído humano) es añadir notas más agudas que combinan perfectamente con la nota principal que estamos tocando. El esquema de dibujo de las ondas de esas notas sería así:





Pues bien, cada instrumento se distingue de los demás en función de la importancia que le da a cada uno de esosarmónicos. Por ejemplo, normalmente los instrumentos que son tubos cerrados (Como el clarinete, la flauta…) sólo tocan los armónicos impares (3,5,7...) y eso les confiere su timbre característico (luego dependen de la importancia que le den a cada armónico para distinguir uno de otro). Sin embargo, los instrumentos de cuerda (Como el contrabajo, el violonchelo…) recorren todos los armónicos en cadanota (2, 3, 4...).


Trastes en los instrumentos de cuerda
Encontramos el comienzo de la investigación de las matemáticas en el mundo de la música en los tiempos de Pitágoras, cuando los griegos usaban un instrumento llamado monocordio, que estaba compuesto por una única cuerda, sobre una pieza móvil que alargaba o acortaba su longitud. Así podían estudiar la relación que existía entre ellargo de la cuerda y lo agudo o grave que sonara.
De ahí se concluyeron que mientras más grosor y más pesada fuera la cuerda, más grave es su sonido. Y es ahí donde conocieron que la razón entre la longitud de la cuerda que sonaba una octava superior y la original era dos:
- A doble longitud de cuerda suena una octava más baja. Hoy en día sabemos que la relación entre la frecuencia y la longitud esinversamente proporcional. Eso permite colocar los trastes de la guitarra en la posición necesaria para obtener el sonido deseado. Para aumentar una octava, el factor (o cociente de las frecuencias) es dos. Si dividimos la octava en doce semitonos iguales, la frecuencia de cada uno de ellos vendrá dada por la ecuación x12=2, que tiene como solución la raíz doceava de 2, 1'059463. Este número esel que da la pauta para colocar los trastes.

Si la cuerda original mide L (En esta explicación tomaremos como ejemplo 100 cm), el primer traste deberá colocarse a una longitud 0'056L del principio, o sea, a 5'6 cm, así la longitud de la cuerda se ve dividida por la raíz doceava de dos. Es decir, cada vez que colocamos un traste lo hacemos al 5'6% de la medida de la cuerda original. Esto...