Matematicas

1MTB
Mecatronica
Materia: Matemáticas
Nombre: Humberto Alejandro Molina Ramírez

Gabriel García Cortina Dr.




Ramos Arizpe, Coahuila 4 de Noviembre de 20010
Contenido
I. Cálculo Diferencial 3
Aplicaciones 3
Reglas 4
Ejemplos 4
1.1 4
1.2 4
II. Derivada 5
Fórmulas 5
Regla 6
Ejercicios 6
1.1 6
1.2 6
III. Reglas de Derivación 7
Derivada de unaConstante 7
Derivada de una potencia entera positiva 7
Derivada de una constante por una función 8
Derivada de una suma 8
Derivada de un producto 9
Derivada de un cociente 10
IV. Máximos y Mínimos 11

Cálculo Diferencial

Es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientescuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

Aplicaciones

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hacetender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.
Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) porel punto "a" es:
ta(x)= f(a) + f '(a) (x-a)



Reglas

Hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x0, pues k/h puede no tener un límite cuando h 0; por ejemplo,f(x) = |x| no tiene derivada en x0 = 0, pues k/h es 1 o -1según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.

Ejemplos

1.1Consideremos la siguiente función:
| |Entonces:
| |
| |

1.2Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: 
Entonces:
| |
| |
| |
| |
Derivada

La derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuántoestá cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función en un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada.

Fórmulas

 D xc = 0
 D x x = 1
 D x x n = n x n - 1
 D x (u ± v ± w) = D x v ± D x v ± D x w
 D x (u * v) = u D x v + v D x u
 D x u/v = v D x u - u D x v
v 2
 D x u n = n u n - 1 D x u

Regla

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:
-(f +g)´= f´(a) + g´(a)
-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)
Además si g(a)0, entonces f/g esderivable en a y se verifica
-

Ejercicios

1.1Calcula la derivada de:
a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b) 
c) h(x) = tan  x;  d) 

1.2En qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:
a) f(x)= 
b) y =
c) g(x)=

Reglas de Derivación

Son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza...