Matematicas
Ingeniería Matemática
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Introducción al Cálculo 08- 1
Ý
ØØÔ »»ÛÛÛº ѺÙ
Ð º
л
Ð
ÙÐÓº
Ò
ÓÒØÖ Ö × Ð × Ù × Ö
Ó× Ò ÓÖÑ
Ò Ñ
Ò Ð
ÙÖ×Óº ÔÖÓ Ð Ñ ×¸ Ñ × Ð
Î × Ø
Ö
ÙÐ ÖÑ ÒØ
ÁÒ Ò Ö ÅÖ
Ø Ñ
ÙØ Ð
Ö
×
ÍÒ Ú Ö×
Ð
SEMANA 1: NÚMEROS REALES
Í× Ñ Ö
×Ø × ÒÓØ × Ò Ô Ö Ñ Ò Ö
Ð
ÓÒ¹Ð Ñ ¹ Ø Ñ¹ ×
×ÙÐØ Ö
1.
1.1.
Números Reales
Introducción
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö Ð Ñ ÒØÓ× × × ×ÙÑ Ð ×¸ Ó
× ÕÙ ×Ø × ÔÖÓÔ ÒÓØ Ó ÔÓÖ
Ñ × Ö Ô Ø Ö Ò Ðº À Þ ØÙ×
ÔÖÓÔ
ÒÓØ
ÓÒ ×º
Ð
ÓÒ ÙÒØÓ
ÓÒ ÙÒØÓ
ÙÝÓ×
ÓÒ ÙÒØÓ Ò
R¸
Ò
× × ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð
Ù Ð × ÐÓ
Ò ÐÓ× Ù Ð × Ò Ó ÔÖÓ Ù
ØÓº × Ò × ÙÖ ÒØ ÖÙÔ Ö× Ð
ÙÒ Ò Ò Ð Ó× Ý ÔÖÓ¹
ÐÐ Ñ Ò Ò Ñ ÖÓ× Ö
ÔÖÓÔ Ò × ÕÙ ÐÐ × Ò ÐÑ ÒØ ¸ Ö Ò
× ×Ð
Р׸
Ó× ÓÔ Ö
ÓÒ × ÐÐ Ñ
Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ
Ó Ù× × ÔÙ ×Ó
R
ÓÒ
×Ø × ÓÔ Ö
ÓÒ × × Ø × ×
Ð × Ý Ð × Ý Ñ ÙÒ Ó º
× ÕÙ
Ò
Óº Ò ØÖ ×
R
Ò×
Ü ×Ø Ò ÒÙÑ ÖÓ× × ÔÖÓÔ ÒÞ × Ð ÔÖ Ñ Ö Ù Ð × Ú ÒÞ ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ Ò
Ù
ÓÒ × Ñ Ö
Р׺ × × ×ØÙ ×Ø Ö Ð
Ñ Ð Ð × Ð Ô ÒØ ÖÒ ×Ø × ÍÒ ×
Ö Ò ×Ø ØÓ ×
Ù
ÓÒ ×
ÖÙÔÓ
ÓÖÖ ×ÔÓÒ
Ð × ÔÖÓÔ Ü ×Ø ÒØÖ
Ò ØÓÖÒÓ Ð × Ý ÐÓ× ×ØÖÙ
ØÙÖÙÒ
ÓÒ ÙÒØÓ Ð
× ÕÙ
ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö
Ö
ÓÒ Ð × ´Ð × Ö
ÓÒ ×µ¸ ÐÓ× Ò Ñ ÖÓ× Ö ÐØ Ñ × ÔÖÓÔ Ð ÐÐ × Ó ÒÓ¸ ÕÙ ×
×Ø × ÔÖÓÔ
ÔÖ Ó
ÙÔ Ò Ü ÓÑ
ÓÒÓ
Ò
ÓÑÓ ×
Ù Ò Ó ×
Ö Ð
ÙÖ×Ó Ú × ×
Ó× ÒÙ ×ØÖ Ù
ÁÇÅ ÓÖ
Ð ×ÙÔÖ ÑÓº Ö ÙÒ Ð Ö Ó Ð ×Ø Ó ÔÖÓÔ ½ ÓÒ ¿ ´ÔÓÖ × ÐÓ ×
ÔÓ× ÖØ
Ö Ð × ÔÖÓÔ
R
× Ö × ÙÒ Ð
ÑÓ Ó ÕÙ
ÓÒ
ÒÓ× ÔÖ
ÙÒØ
× ¸
ÓÖÖ ×ÔÓÒ ×º Ò ÓÔÙ ×Ø Ð
ÔÖÓÔ ÒÙÒÓ ×
ÑÔÐÓµ º
×ØÓ ØÖ Ò× ÓÖÑ Ö ×
Ó × ÙÒ Ö ÑÓ× ÙÒ Ò × Ö ÙÒ Ó× Ñ ÒØ Ð × ÔÙ Ò × Ö ÐÓ× Ô ÖØ Ö µ¸ ÐÓ×
Ñ Ø Ñ Ø
×
Ñ ÑÓÖ Þ Ö Ò Ò Ø × ÔÖÓÔ
ÙÖ×Ó¸
ÒØ Ö ÓÖº ÐÐ Ñ Ò
Ö¸ ØÓ Ó×
Ð × ÔÖÓÔ ÐÓ× Ô Ð Ö × × ÐÓ
ÓÒ×
Ù Ò
Ø ÓÖ ×¸ Ñ Ëº
ÖØÓ× ÔÓ×ØÙÐ ×
×
Ó× Ý × Ö Ò
Ð Ñ ÒØ Ð ×º ÄÓ× ÔÓ×ØÙÐ ÕÙ ÐÐ × ÕÙ
Ð Ñ ÒØ Ð × × ÒØ
Ü ÓÑ
º Ä × ÔÖÓÔ ÙÒ
R
ÒØÓ Ð
× Ö Ò
Ó¹ Ó×
Ö ÞÓÒ ÑÑ Ø Ñ Ø
Ó¸ Ð Ù Ð
ÖÙÔ Ö ÑÓ× ÐÓ× Ð ×ÙÔÖ ÑÓ ´ÕÙ ÕÙ
Ü ÓÑ × Ü ÓÑ × Ñ Ö
Ð
Ò ØÖ ×
ÖÙÔÓ× ÄÓ× Ò ´ ×Ó
ÒØÖ
Ó×
Ü ÓÑ × Ð Ð ×
Ù ÖÔÓ ´ ×Ó
Ù Ð µÝ Ð
Ü ÓÑ Ö ×
Ö Ò
× Ø × Ò Ó
ÐÓ× Ö
Ð × Ý ÐÓ× Ö
ÓÒ Ð ×µº
Ö× ¸ Ò ÔÓ
× Ô Ð ÒÓº
ÂÙÒØ Ò Ó ØÓ Ó× ÐÓ×
Ü ÓÑ × ÕÙ
R¸ ×Ù
R
× ÙÒ
Ù ÖÔÓ ÇÖ
ÓÑÔÐ ØÓ Ý
ÖÕÙ Ñ
1.2.
ÄÓ×
Ù ÖÔÓ
Axiomas de Cuerpo de losReales
Ü ÓÑ × ÐÓ× Ö
R
Ò ØÓÖÒÓ Ù ÒØ ×
Ð
Ù Ð
Ø Ñ
Ò ×ÓÒ ÐÐ Ñ ¸
Ó×
Ü ÓÑ × Ó×
Р׺ ÄÓ×
ÖÙÔ Ö ÑÓ×
Ò ÙÒ ØÓØ Ð
ÐÓ×
Ù Ð × ÐÓ×
ÔÖ Ñ ÖÓ× ×ÓÒ ÐÓ× ×
Ü ÓÑ ½º ´ ÓÒÑÙØ Ø Ú
µ Ù Ð ×ÕÙ Ö ÕÙ ×
µ
Ð ×
ܺ ½º
ÓÒÑÙØ Ø Ú
Ò ÐÓ× Ö
x, y
Ó׸ ×Ù ×ÙÑ
× ÙÒ Ö
Ð
½
ÁÒ Ò Ö Å Ø Ñ Ø
ÍÒ Ú Ö×
×
Ð
Ò
Ô Ò
ÒØ
Ð ÓÖ
Ò
Ò ÕÙ
×
Ù× Ò ÐÓ×
Ó××ÙÑ Ò Ó׸
Ö
(∀x, y ∈ R)
µ È Ö Ð ÔÖÓ Ù
ØÓ ×
ÙÑÔÐ Ð
x + y = y + x.
Ñ ×Ñ ÔÖÓÔ Ð Ñ ÒØ Ð¸ ×
Ö
(∀x, y ∈ R)
x · y = y · x.
Ü ÓÑ ¾º ´ ×Ó
Ø Ú
µ µ
µ
ܺ ¾º
×Ó
Ø Ú
(∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Ð Ü ÓÑ Ñ Ò
Ð × Ö Ó Ò Ù ×Ø ÔÖÓÔ ÒØ Ð ×Ó
ÐØ Ñ Ø Ú Ù Ð ÐÓ× × ÖÖÓÐÐÓ Ö
Ö
× × Ð Ð Ü ÓÑ Ü ÓÑ ½ ¾. ÕÙ Ö ÐÓ× Ó× ÆÇ Á× ÙÒ Ü ÓÑ × ÕÙ
Ç × ÖÚ ÑÓ× ÕÙ
x + (y + z) =
ÖØ ¸
(x + z) + y º
Ö
Ò × Ð
Ë Ò
ÔÖÓÔ ÒØ Ö ÓÖ ×º
ÓÑ
ØÓ¸ Ú
ÑÓ×
x + (y + z) = =
ÈÓÖ ÐÓ Ø ÒØÓ¸
ÓÑ ÓÔ Ö Ò Ó× ÕÙ × ×
Ù Ò Ó ÙÒ ØÖ ÔÐ Ö
x + (z + y); (x + z) + y;
Ó× Ü ÓÑ × ÔÙ Óº ×ÙÑ ¸ × Ð Ö ×ÙÐØ
Ò Ò Ó ÐÓ×
ÒØ Ö ÓÖ ×¸ × Ò Ö ×Ø
ÓÒ
ÐÙÝ
Ù ÐÕÙ Ò
Ò Ö ÓÖ × ÔÓÖ
ÓÖÑ Ò Ö Ð¸ ×
¸ × Ò
Ñ Ò
× Ö Óº
Ö Þ Ò¸ÕÙ
Ý Ú Ö Ó× ×ÙÑ Ò Ó׸ ÒÓ ×
Ù× Ò ÐÓ× Ô Ö ÒØ × ×¸
ÒÓ × Ö ÕÙ
×ØÖ
Ø Ñ ÒØ
Ö
Ó× ½º½
Ñ × ½ Ý ¾º ½º
ÑÓ×ØÖ Ö Ð × ×
Ù
ÒØ ×
Ù Ð
׸ Ù× Ò Ó ×ÓÐÓ ÐÓ×
Ü Ó¹
(a+b)+c = (a+c)+b = (b+a)+c = (b+c)+a = (c+a)+b = (c+b)+aº ÕÙ × Ò ×
Ö ØÓ ØÓ Ó× ÐÓ× ÓÖ Ò Ñ ÒØÓ× ÔÓ× Ð × ÐÓ× Ö Ð × a¸ b Ý cº (x + y) + (z + w) = (x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
Ü ÓÑ ¸ ÕÙ Ð ×ÙÑ Ý × Ù ¸...
Regístrate para leer el documento completo.