Matematicas

El sistema de suspensión de un automóvil mostrado en la figura puede ser modelado mediante la siguiente ecuación diferencial:
 
[pic][pic]
donde d es el desplazamiento vertical delvehículo, m su masa, b es el coeficiente de fricción viscosa del amortiguador y k la constante del muelle. El desplazamiento provocado por el perfil de la carretera (c) se considera como laseñal de entrada del mismo.
Se desea obtener:
a) (1 Punto). La función de transferencia del sistema D(s)/C(s).
b) (2 Puntos). Un modelo de estados del sistema mediante la utilizaciónde un diagrama de flujo de señal de éste.
 
SOLUCIÓN:
a) Aplicamos Laplace a la ecuación del sistema para trabajar en el dominio de s y nos queda:ms2D(s)+b(sD(s)−sC(s))+k(D(s)−C(s))=0 ; sacamos factor común en D(s) y C(s):
D(s)(ms2+bs+k)−C(s)(bs+k)=0 ; Finalmente, despejando D(s)/C(s), obtenemos la función de transferencia del sistema:
D(s)C(s)=bs+kms2+bs+k
 
b) Paraobtener el diagrama de flujo de señal del sistema, debemos sacar los caminos directos y los lazos.
Fórmula de Mason, para obtener el diagrama de flujo por comparación:G=[pic][pic]k[pic]Pk−[pic]k[pic] 
D(s)C(s)=bs+kms2+bs+k[pic]ms−2ms−2=mbs−1+mks−21+mbs−1+mks−2
Caminos directos:
P1=kms−2
P2=bms−1
Lazos:
L1=m−bs−1
L2=m−ks−2
Una vez obtenido los caminos directosy los lazos, realizamos el diagrama de flujo de señal del sistema que se muestra a continuación:
[pic]
Como podemos ver en el diagrama, las dos condiciones que ha de cumplir éste, secumplen:
-Todos los lazos tienen en común al menos un nodo.
-Todos los caminos directos tienen en común con todos los lazos, al menos, un nodo.
Finalmente, utilizando el diagrama deflujo de señal del sistema, obtenemos el modelo de estados de dicho sistema:
[pic]x1[pic] x2[pic]  [pic]=[pic] [pic]  0 m−k 1 m−b  [pic] [pic]  [pic]x1 x2  [pic]+[pic]0 1  [pic]c(t) ...