Matematicas

Matemática I

SESIÓN Nº 15
Derivadas Parciales de Orden Superior
Una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otrasconstantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial Consideremos el volumen V de un cono; este depende de la altura del cono y de su radio r de acuerdo con lafórmula:

 r 2h V  f (r , h)  3
Las derivadas parciales de V respecto a r y h son:

V 2 rh  y r 3
Dada la función:

V  r2  h 3

f ( x , y )  3 x 3 y  2 x 2 y 2  5 y en to n ces lad eriva d a p a rcia l d e f resp ecto d e " x ", es f  9 x 2 y  4 xy 2 x m ien tra s q u e resp ecto d e " y " es f  3x3  4 x2 y  5 y
Estudiadas en la sesión anterior

Notaciones Usadasen Derivaciones Parciales:  Derivadas parciales de primer orden

f  f 'x x f x

Tres notaciones de derivadas parciales de primer orden

Matemática I

 Derivadas parciales (dobles) desegundo orden

Derivada parcial segunda respecto de " x " 2 f  f ' ' xx   xx f 2 x Derivada parcial segunda respecto de " y " 2 f  f 2 y
'' yy

  yy f

 Derivadas cruzadas de segundoorden

Derivada parcial segunda respecto de " x" y de " y" 2 f  f '' xy xy f xy Derivada parcial segunda respecto de " y" y de " x" 2 f  f '' yx yx f yx
Ejemplo: Con

f (x, y)  3x36x2 y  y3 8

hallar:

a.

f 9x2 12xy primeraderivada parcial respectode "x" x
 respecto de " x " 2 f  18 x  12 y x 2
 o respecto de " y " 2 f   12 x  x y

Esta primeraderivada puede seguir derivándose:

Matemática I

Con la misma función

f (x, y)  3x3  6x2 y  y3 8 hallar
 Pr imera derivada parcial de " y "

b.

f  6 x 2  3 y 2 y

Esta primeraderivada puede seguir derivándose:

 respecto de " x "  o respecto de " y " 2 f  12 x yx
Observar que en ejemplo: b

2 f  12 y y 2
a

2 f 2 f  yx xy
En (b) respecto de " x...