Matematicas

T´picos de An´lisis Num´rico o a e

November 9, 2004
Enrique Zuazua Departamento de Matem´ticas a Universidad Aut´noma o 28049 Madrid, Spain enrique.zuazua@uam.es

Contents
1 El m´todo de las direcciones alternadas e 1.1 Motivaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Sistemas de EDO lineales. El teorema de 1.3 Demostraci´n del Teorema de Lie . . . . o 1.4 Algunos ´mbitos de aplicaci´n .. . . . . a o 2 Descomposici´n de dominios en 1 − d o 3 Descomposici´n de dominios para las diferencias finitas 1 − d o 4 Preliminares sobre problemas el´ ıpticos 4.1 El problema de Dirichlet en un dominio acotado . . . . . . . . 4.2 Reducci´n al problema de valores de contorno no homog´neos o e 4.3 El problema de contorno no homog´neo . . . . . . . . . . . . . e 4.4 La desigualdad de Rellich . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Un resultado de trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Principio del m´ximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 5 Descripci´n del MDD en varias dimensiones espaciales o 6 MDD para las diferencias finitas multi-d 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lie . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 6 8 10 14 17 17 17 19 20 22 24 26 29

7 M´todos de descenso e 7.1 El m´todo directo del C´lculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 7.2 El m´todo del m´ximo descenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a 7.3 El m´tododel gradiente conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 8 El lema de Lax-Milgram y sus variantes 9 El m´todo de Galerkin e 9.1 Interpretaci´n geom´trica del m´todo o e e 9.2 Orden de convergencia . . . . . . . . 9.3 M´todos espectrales . . . . . . . . . . e 9.4 El m´todo de Elementos Finitos 1D . e 9.5 El m´todo de Elementos Finitos 2D . e

32 32 34 38 40 43 44 45 46 50 55 64 6875 82 92 95 103 105 114

de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Resoluci´n de la ecuaci´n del calor mediante t´cnicas de semigrupos o o e 11 Aproximaci´n de Galerkin dela ecuaci´n del calor o o 12 Breve introducci´n a la Teor´ de Semigrupos o ıa 13 La ecuaci´n de ondas continua o 14 La ecuaci´n de ondas semilineal o A Aproximaci´n de dominos en el problema de Dirichlet o B Aceleraci´n del MDD para datos r´pidamente oscilantes o a C Ejercicios D Soluciones a problemas
Abstract En estas notas recogemos los res´menes de algunas de las clases impartidas en el ucurso de doctorado 03-04 de la UAM denominado “M´todos Num´ricos” y dedicado e e esencialmente al estudio de m´todos de descomposici´n de dominios, de Galerkin y e o de descenso para la aproximaci´n num´rica de soluciones de Ecuaciones en Derivadas o e Parciales tanto el´ ıpticas como de evoluci´n. o

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1.1

El m´todo de las direcciones alternadas e
Motivaci´n o

La complejidad de losmodelos matem´ticos que se precisan para analizar los cada vez m´s a a sofisticados problemas que se plantean en Ciencia y Tecnolog´ crece sin cesar. Es por eso ıa que, frecuentemente, en dichos problemas podemos encontrar varios sistemas de naturaleza distinta acoplados: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) de diferentes tipos, sistemas discretos,estoc´sticos, etc. Cabe decir que se a trata de modelos heterog´neos o de car´cter multi-f´ e a ısico. Es por eso que, a menudo, el an´lisis de los modelos no puede realizarse mediante el uso a de uno de los m´todos matem´ticos o num´ricos espec´ e a e ıficos de determinado tipo de sistemas sino que es preciso combinar varios de ellos. Lo mismo puede decirse en lo que respecta a los m´todos de...