Matematicas

Demostración del teorema de Pitágoras
Se estima que se demostró el teorema mediante semejanza de triángulos: sus lados homólogos son proporcionales.[1]
Sea el triángulo ABC, rectángulo en C. Elsegmento CH es la altura relativa a la hipotenusa, en la que determina los segmentos a’ y b’, proyecciones en ella de los catetos a y b, respectivamente.
Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BHC tienensus tres bases iguales: todos tienen dos bases en común, y los ángulos agudos son iguales bien por ser comunes, bien por tener sus lados perpendiculares. En consecuencia dichos triángulos sonsemejantes.
[pic]
Se cree que Pitágoras se basó en la semejanza
de los triángulos ABC, AHC y BHC.
La figura coloreada hace evidente
el cumplimiento del teorema.

• De la semejanza entre ABC y AHC:y dos triángulos son semejantes si hay dos o más ángulos congruentes.

[pic]
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• De la semejanza entre ABC y BHC:

[pic]

[pic]

Los resultados obtenidosson el teorema del cateto. Sumando:
[pic]
Pero [pic], por lo que finalmente resulta:
[pic]
[pic]
La relación entre las superficies de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de surazón de semejanza. En esto pudo haberse basado Pitágoras para demostrar su teorema
Pitágoras también pudo haber demostrado el teorema basándose en la relación entre las superficies de figurassemejantes.
Los triángulos PQR y PST son semejantes, de manera que:
[pic]
siendo r la razón de semejanza entre dichos triángulos. Si ahora buscamos la relación entre sus superficies:
[pic][pic]
obtenemos después de simplificar que:
[pic]
pero siendo [pic]la razón de semejanza, está claro que:
[pic]
Es decir, "la relación entre las superficies de dos figurassemejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza".
Aplicando ese principio a los triángulos rectángulos semejantes ACH y BCH tenemos que:
[pic]
que de acuerdo con las propiedades de las...