Matematicas

VARIABLE ALEATORIA

 
Para introducir el concepto de variable aleatoria, veamos primero algunos ejemplos, al arrojar dos dados, sabemos que la suma X de los puntos que caen hacia arriba debe ser un número entero entre 2 y 12, pero no podemos predecir que valor de X aparecerá en el siguiente ensayo, por lo que decimos que X depende del azar, por lo tanto es una variable aleatoria que tomavalores entre 2 y 12. El tiempo de vida de un foco que se extrae aleatoriamente de un lote de focos depende también del azar, este constituye otro ejemplo de una variable aleatoria que varía entre el tiempo 0 y un valor indeterminado, ya que no sabemos exactamente cuanto tiempo va durar. El número de varones de una familia con 5 hijos también es una variable aleatoria que varía de 0 a 5, ya que en unafamilia de cinco hijos puede que no haya ningún varón, uno, dos, tres, cuatro o cinco varones.
Si las observaciones no se dan en términos numéricos, podemos asignarles números y reducir las observaciones cualitativas al caso cuantitativo; así tenemos que la función que asigna valores numéricos a cada uno de los elementos del espacio muestra con una probabilidad definida, se denomina "variablealeatoria".
Por ejemplo, si se lanza una moneda 3 veces, el número de águilas X es una variable aleatoria que toma los valores 0, 1, 2, ó 3; es decir puede que ninguna vez, una sola, dos o tres veces salga águila como resultado; la probabilidad de que (dos águilas) es ya que el espacio muestra aaa, aas, asa, ass, sas, ssa, sss. Y de estos ocho resultados hay tres en los cuales hay dos águilas. Conesto podemos ver que el espacio muestra es el dominio de la función y el conjunto de valores que la variable puede tomar es el rango o recorrido de la función, que es un subconjunto de los reales . Si el conjunto de valores de X es un conjunto finito o infinito numerable, es decir, si se pueden enlistar o enumerar, se dice que la variable es discreta, dicho de otra manera si el rango de la funciónX es un subconjunto de los enteros Z, la variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta, y si el conjunto de valores de X es no numerable, o es un subconjunto de los números reales , la variable aleatoria se llama variable aleatoria continua. Son ejemplos de variables aleatorias continuas: la estatura, el peso, la edad, el volumen, el pH, etc. Algunos ejemplos de variables discretasaleatorias son: el número de alumnos que asisten diariamente durante un semestre, el número de accidentes automovilísticos en una ciudad por día, el número de piezas defectuosas por lote, el número de alumnos aprobados por grupo en un examen, etc.

Fig. 1 Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función cuyo dominio es el espacio muestra S cuyo rango es un subconjunto de los númerosreales que tiene asociada a su conjunto de valores una función de probabilidad. |
 
Ejemplo 1: Supongamos que la Secretaría del Medio Ambiente inspecciona una vez al mes la cantidad de un contaminante que descarga una compañía de productos químicos. Si la cantidad del contaminante excede el nivel máximo permitido, se multa a la compañía y se le obliga a corregir el problema. Consideremos lassiguientes dos variables aleatorias asociadas a este problema:
Primero digamos que X es el número de meses antes de que la compañía excede los límites permitidos del contaminante. Esta variable toma valores 1, 2, 3, … pero no conocemos donde termina, ya que quizás nunca exceda estos límites permitidos, por lo tanto, el conjunto de valores de X es el conjunto de los números enteros positivos. Como podemosenlistar o numerar el conjunto (es un conjunto numerable) de valores de la variable X, decimos que la variable aleatoria X es una variable aleatoria discreta.
Si la segunda variable X es la cantidad del contaminante que excede los límites permitidos (en miligramos por litro) medidos por mes en una muestra de aguas residuales de la compañía, ¿qué valores toma la variable? A diferencia de la...