Matematicas

UNIVERSIDAD VIZCAYA DE LAS AMERICAS

MATEMATICAS I

PROFESOR: ING. HECTOR DAVID GARZA REYES

ALUMNA: ELIZABETH VEGA ROJAS

TEMARIO DE MATEMATICAS

PIEDRAS NEGRAS COAHUILA A 13 DICIEMBRE DEL 2010

I. SISTEMAS DE ECUACIONES Y MATRICES

← INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Una recta en el plano xy se puede representar algebraicamente mediante una ecuación
de la formaa x + a y = b

Una ecuación de este tipo se conoce como ecuación lineal en las variables x y y. En forma
general, se define una ecuación lineal en las n variables Xl' X2, •. . , Xn como aquélla que
se puede expresar en la forfllil.

a x + a x + … + a x = b

En donde a , a ,…, a y b son constantes reales

EJEMPLO 1

Las siguientes son ecuaciones lineales:

x+3y = 7x - 2x - 3x + x = 7
y = 1/2x +3z+1 x + x + … + x = 1

Observe que una ecuación lineal no comprende productos o raíces de variables. Todas
las variables se presentan únicamente a la primera potencia y no aparecen como argument9
para funciones trigonométricas, logarítmicas o exponenciales. Las que siguen no son
ecuaCiones lineales:

x+3y = 7 3x+ 2y – z + xz = 4
y-sen x=0 x + 2x + x = 1

Unasolucióndeunaecuaciónlineala1x1 + a2x2 + ... + anxn = b esunasucesión
de n números Sl' S2, . .. , sn , tales que la ecuación se satisface cuando se hace la sustitución
Xl = Sl , X2 = S2, . . . , Xn = Sn. El conjunto de todas las soluciones de la ecuación
es su conjunto solución.

Ejemplo 2

Encuéntrese el conjunto soluciónde cada una de las siguientes ecuaciohes:

i) 4x-2y = 1 (ii) x -4x + 7x = 5

A fin de encontrar las soluciones de (i), se puede asignar un valor arbitrario a x y
despejar y, o bien, elegir un valor arbitrario para y y despejar x . Si se sigue el primer
procedimiento y se asigna a x un valor arbitrario t, se obtiene

x = t , y = 2t – ½

Estas fórmulas describen elconjunto solución en términos del parámetro arbitrario t. Es
posible obtener soluciones numéricas particulares al sustituir t por valores específicos. Por
ejemplo , t = 3 proporciona la solución X = 3, Y = 11/2, Y t = 1/2 proporciona la solución
x = -1/2,y = -3/2.
Si se sigue el segundo procedimiento y se asigna ay el valor arbitrario t , se obtiene

X = 1/2t + ¼ , y = t

Aun cuandoestas fórmulas son diferentes a las obtenidas con anterioridad , proporcionan
el mismo conjunto solución cuando se hace variar t sobre todos los números reales f}osibles.
Por ejemplo, las fórmulas previas dieron la solución x = 3.)! = 11/2 cuando t = 3,
mientras que estas fórmulas conducen a esta solución cuando'; = 11/2.
Para encontrar el r.onjunto solución de (ii) se puede asignar valoresarbitrarios a
dos variables cualesquiera y despejar la tercera variable. En particular, si se asignan los
valores arbitrarios s y t a X2 Y X3 , respectivamente , y se despeja Xl, se obtiene

x = 5 + 4s – 7t , x = s, x = t

Un conjunto fmito de ecuaciones lineales en las variables Xl , X2, ... , xn se conoce
como sistema de ecuaciones lineales o sistema lineal. Unasucesión de números si, 52, . .. ,
Sr! es una solución del sistema si Xl = Sl, X2 = S2," ., Xn ,,; 5n es una solúción de toda
ecuación en tal sistema. Por ejemplo, el sistema

4x - x + 3x = -1 3x + x + 9x = -4

tiene la solución Xl = 1, X2 = 2, X3 = -1, puesto que estos valores satisfaéen las dos
ecuaciones. Sin embargo, Xl = 1, X2 = 8, X3 = 1 no es una solución, ya queestos valores
sólo satisfacen la primera de las dos ecuaciones del sistema.

← ELIMINACION GAUSSIANA

Estos algoritmos trabajan directamente sobre la matriz aumentada del sistema llevandola a la matriz de un sistema
triangular que es equivalente al sistema inicial. La equivalencia del sistema triangular final con el inicial se
argumenta debido a que el algoritmo solo utiliza los tres...