Matematicas

DIFERENCIAS FINITAS EN MAS DE UNA DIMENSION (CON 2 VARIABLES)
El problema de aproximación de ecuaciones diferenciales en dos ó más variables independientes es obviamente un poco más comprometido,aunque los principios utilizados son idénticos a los de una dimensión.
Consideremos un problema de torsión elástica de una barra prismática (región rectangular) , regido por la ecuación diferencialsiguiente:

Aquí es el módulo elástico transversal , dónde es el módulo elástico longitudinal y es la relación de Poisson; es el ángulo de torsión de cada sección y es la función de tensión quesatisface la condición en los contornos.
El momento torsor está dado por y la tensión tangencial en una dirección cualquiera en la sección se obtiene a partir de .
Para aplicar el método dediferencias finitas en ésta situación, procedemos exactamente de la misma manera que en el caso unidimensional. A tal fin, construimos un conjunto de puntos de grilla , igualmente espaciados en el rangocon , y también un conjunto de puntos de grilla igualmente espaciados sobre el rango , con .
La región en la cual se requiere la solución está entonces cubierta por una grilla rectangular dediferencias finitas, a través del trazado de líneas paralelas al eje a través de cada punto; y de la misma forma, trazando paralelas al eje a través de cada punto .
Un punto típico de grilla está dadoentonces por las coordenadas. El método de diferencias finitas es ahora aplicable a la ecuación (24), lo que significa que nuevamente reemplazaremos los términos que involucran ahora derivadas parcialespor sus correspondientes aproximaciones de diferencias finitas.

Aplicaremos a la resolución de la siguiente barra prismática, utilizando la grilla que vemos a continuación:
Por condiciones desimetría, la solución necesita ser obtenida sólo para una cuarta parte de la sección, como se muestra en la figura anterior. Utilizaremos una malla de tamaño. Notamos que el valor de la función de...