Matematicas

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Determinantes
Dr. Juli´n Gpe. Tapia Aguilar a juliangpe@yahoo.com.mx and juliangpe@prodigy.net.mx Universidad del Valle de M´xico e 23 de enero de 2011

´ Indice
1. Sistemas de Ecuaciones Lineales 1.1. Sistemas Lineales Homog´neos (SLH) e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 7 9 12

2. Determinantes 2.1. Determinantes deOrden 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Determinantes de Orden 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sistemas Lineales 2 × 2

4. Sistemas Lineales 3 × 3 16 4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

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Sistemas de Ecuaciones Lineales – JGTA

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1.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Por un sistema m × n; esto es, de m ecuaciones lineales y n variables, entendemos el siguiente conjunto de ecuaciones: a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn a3,1 x1 + a3,2 x2 +a3,3 x3 + · · · + a3,n xn . . . am,1 x1 + am,2 x2 + am,3 x3 + · · · + am,n xn = b1 = b2 = b3 . = . . = bm . (1)

Ejemplo 1 (Sistema de Ecuaciones 4 × 3) El siguiente sistema de ecuaciones lineales diremos que es 4 × 3, porque hay cuatro ecuaciones con tres variables x, y y z. −3x + 2y x + 5y −5x + 7y 5y − 6z − 11z − z − 11z = = = = 15 11 −26 0

El estudio de sistemas de ecuaciones se facilita siprimero uno estudia los sistemas conocidos como homog´neos que son aquellos cuando en el lado derecho del sistema 1 todos los coeficientes valen cero; esto e es, bi = 0, i = 1, 2, · · · , m.

1.1.

Sistemas Lineales Homog´neos (SLH) e
a1,1 x1 + a1,2 x2 + a1,3 x3 + · · · + a1,n xn a2,1 x1 + a2,2 x2 + a2,3 x3 + · · · + a2,n xn a3,1 x1 + a3,2 x2 + a3,3 x3 + · · · + a3,n xn . . . am,1 x1 + am,2x2 + am,3 x3 + · · · + am,n xn = 0 = 0 = 0 . = . . = 0. (2)

Por un sistema de ecuaciones lineal homog´neo entenderemos lo siguiente: e

Ejemplo 2 (Sistema de Ecuaciones Homog´neo 4 × 3) El sistema de ecuaciones lineales 4 × 3 en las e variables x, y y z es homog´neo. e −3x + 2y − 6z = 0 x + 5y − 11z = 0 −5x + 7y − z = 0 5y − 11z = 0 Observe que una soluci´n es (x, y, z) = (0, 0, 0). No podemosasegurar, por el momento, que la soluci´n sea o o unica. ´ El primer resultado que tenemos para estos sistemas homog´neos es que siempre tienen al menos la e soluci´n trivial; a saber o (x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) = (0, 0, 0, · · · , 0) (3) Con respecto al n´mero de soluciones para sistemas homog´neos tenemos el siguiente resultado. u e Teorema 1.1 En un sistema de ecuaciones lineal homog´neosolo le pueden ocurrir dos situaciones: e O la soluci´n es unica, en cuyo caso es la trivial. o ´ O tiene un n´mero infinito de soluciones. u

Sistemas de Ecuaciones Lineales – JGTA

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2.

Determinantes

Iniciaremos nuestro estudio de determinantes como el siguiente arreglo “cuadrado” de n´meros, diremos u n × n, al cual se le asocia un n´mero y lo haremos de manera progresiva, iniciandocon n = 2. u

2.1.

Determinantes de Orden 2
( a1 a2 b1 b2 ) ,

Definici´n 2.1 Dada la matriz dos por dos, o A=

el determinante de esta matriz, se denota y calcula de la siguiente manera. det(A) = Ejemplo 3 Para los siguientes determinantes, 2 3 1 5 −3 4 2 4 5 3 −2 6 ≡ (2)(5) − (1)(3) = 10 − 3 = 7 ≡ (−3)(4) − (2)(4) = −12 − 8 = −20 ≡ (5)(6) − (3)(−2) = 30 + 6 = 36 ≡ (3)(8) − (−5)(6) = 24+ 30 = 54 ≡ (5)(−7) − (3)(2) = −35 − 6 = −41 a1 a2 b1 b2 ≡ a1 b2 − a2 b1 .

3 6 −5 8 5 3 2 −7

Por supuesto que la regla trabaja para fracciones o cualquier n´mero racional o irracional; por ejemplo, u Ejemplo 4 Para los siguientes determinantes, 2/3 −3 1/2 5 π −2 −2/5 −1 −2 −2b 2/5 5b 1 10 3 29 2 + = ≡ ( )(5) − ( )(−3) = 3 2 3 2 6 4 ≡ −π − 5 4 46 4b = (−10 + )b = − b. ≡ −10b + 5 5 5...