Matematicas

0. Vectores en el plano y el espacio.

Si alguien le dice que un avión salió del aeropuerto Benito Juárez y voló 2000[km], usted no tendrá ni la más mínima idea del cambio de posición, en otras palabras, del desplazamiento del avión. Inclusive, podría no haber cambiado de posición, pues podría haber estado volando 2000[km], yendo y viniendo, volviendo al mismo aeropuerto. Aunque le dijéramosque el aeropuerto al que fue a dar el avión queda a 2000[km], en línea recta, del aeropuerto Benito Juárez, usted no tendría noción de su cambio de posición, pues el avión podría haber seguido una infinidad de direcciones diferentes. Si le dijeran que el avión saliendo de ese aeropuerto, voló 2000[km], en una recta que forma un ángulo de 30° con la aguja de la brújula que marca la direcciónnorte-sur, todavía podría tener dudas acerca de si el avión recorrió esa recta del punto A al punto B o de B hacia A, esto es, cuál fue el sentido que tomó en aquella dirección.

Entonces, su idea del desplazamiento del avión será precisa después que le den el módulo de desplazamiento (de 2000 [km]), su dirección (recta que forma un ángulo de 30° con la aguja de la brújula) y su sentido (hacia elNorte).

Cualquier representación de una magnitud vectorial se llama vector y el segmento de recta, tratándose de una magnitud vectorial (posee módulo, dirección y sentido).

El vector representado por un segmento de recta podrá simbolizarse por , por , por o por alguna letra minúscula en negrilla v.

El módulo del vector se representa por , , o .
[GONCALVES & RIBEIRO, Física. Pp. 29]En muchas aplicaciones trabajamos con cantidades medibles, como la presión, la masa y la rapidez, que se pueden describir en forma completa mediante su magnitud. También hay otras cantidades medibles, como la velocidad, la fuerza y la aceleración, cuya descripción no sólo necesita la magnitud, sino también una dirección. Estas cantidades se llaman vectores.
[KOLMAN, Álgebra Lineal, Prentice Hall,pp. 123]

0.1 Representación de vectores en ℝ2 ℝ3

Suponga que se tiene un punto en una recta numérica para indicarlo (ver figura 1). Se hace una marca en donde se localiza ese punto. A ese punto se le da un ancho (ver figura 2) y se forma un par ordenado (a, b) en donde la a me indica el recorrido o largo de ese eje, b me indica el ancho en ese eje. Así pues hemos definido un punto en dosdimensiones (2D).

Si ahora hacemos lo propio para darle un alto a ese punto, obtendré (a, b, c), se ha formado la triada (a, b, c); a el largo, b el ancho y c el alto. De esta manera se definirá un punto en tres dimensiones (3D).

Si ahora trazo un segmento de recta en cada figura, tomando como punto de inicio al origen y llegando al punto, que llamaré A, formo lo que se llama en geometría unsegmento de recta, y si a éste segmento le dibujo una punta de flecha (para indicar la dirección) entonces obtendré un vector.

Se puede ir más haya y definir un punto y un vector en cuatro dimensiones, en 5, hasta n dimensiones; lo difícil va a ser la representación grafica.

Ejemplo, de n dimensiones. Suponga que se tienen los datos de gastos de diferentes industrias.
1. Pesquera 2.Transporte 3. Química
4. Automóviles y automotores 5. Ropa y calzado 6. Agrícola
7. Acero e industrias extractivas

Suponga que la unidad de medida es un millón de pesos por año. Entonces un punto G = (102, 250, 100, 285, 125, 130, 290), en este punto de siete dimensiones significa que la industria del Acero y extractivas, gastó doscientos noventa millones de pesos en el año.

0.2Representación de subconjuntos del espacio

Consideremos el vector en 2D, u = [x1, y1], en donde x1, y1 son números reales, que forman el par ordenado. Asociamos a u el segmento de recta dirigido con punto inicial el origen, O(0, 0), y un punto final en A(a, b). Vea la siguiente figura. En ella el origen es la cola del vector, en el extremo A (3, 2) llega la punta de la flecha es la cabeza del vector....