Matematicas

Realizada Por:

Ing. Marjorie J. Uzcátegui S.

Mérida, Enero de 2010

Antecedentes:

La definición moderna del concepto de función se debe al matemático francés Agustín-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy inicio la sistematización de la teoría de grupos, imprescindibles en el Álgebra moderna, y fue uno de los precursores de rigorismo en Matemáticas.

1. FunciónReal de variable real.
Llamamos función a cualquier aplicación donde:
[pic] o bien [pic] siendo D un subconjunto de R
mediante una función, a cada elemento de x de R ( o de un subconjunto de R) le asociamos un único elemento y = f(x) de R.
[pic]
x es la variable independiente e y la variable independiente.

[pic] Ejemplo

La expresión [pic]define la función para la que[pic][pic][pic] ..........

[pic] Ejemplo

Para la función [pic], se tiene que:
[pic][pic][pic] no existe pues [pic] no es un número real;...

[pic] Ejemplo

La función [pic]que asigna a cada número su cuadrado tiene por gráfica:
[pic]
De las siguientes gráficas, solo la segundas representa a una función (puede observarse como en la primera, se tendría hasta tres imágenes).1.1 Dominio de una Función.
Sea y = f(x) una función.
[pic]

Para el cálculo del dominio de una función dada por una fórmula, hemos de tener en cuenta que:
1. No es posible la división por 0
2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc, cuando el radicando es negativo (esto es posible si la raíz es impar)
3. No es posible calcular el logaritmo de unnúmero negativo, ni tampoco de 0

[pic] Ejemplo

El dominio de cualquier función Polinómica es todo R
[pic] [pic]
[pic] Ejemplo
Halla el dominio de la función [pic]

Solución: f(x) sólo será un número real si x2 - 4 no es 0.

Resolviendo la ecuación x2 - 4 = 0 → x2 = 4 → x = ( 2 que son los valores que anulan al denominador. Por lo tanto el dominio es D = R- { -2 , 2 }.

[pic] Ejemplo
Halla el dominio de la función [pic]

Solución: La función está definida sólo cuando 3x+ 9 sea mayor o igual a cero.

Resolviendo la ecuación 3x + 9 ( 0 → 3x ( - 9 → x = - 3 de donde deducimos que. el dominio es D = [ -3 , ( ).

[pic] Ejemplo
Halla el dominio de la función [pic]

Solución: h(x) está definidapara aquellos x( R que hagan los dos resultados no negativos.

[pic] y [pic] ( x ( 1 y x ( 1 ( x = 1

Por lo tanto el dominio de la función esta formado por los puntos del eje 0x encima o debajo de los cuales hay gráfica.

[pic] Ejemplo
Para la función cuya gráfica es la siguiente:

Por lo tanto el dominio es
D = (- ( , - 3 ) ( ( - 1 , 0 ) ( ( 0 , 1 ) ( ( 1,( )
2. Características de una Función.
Una función f: A (B, el conjunto A se denomina dominio de f como se dijo anteriormente, mientras que el conjunto B se denominará contra dominio o Rango de f.

Una función f: A (B se llama uno a uno o Inyectiva sí dados dos elementos a1, a2 del dominio de f, tales que a1( a2 entonces se tiene que f( a1 ) ( f( a2 )

[pic]

Una función f: A(B se dice que es Sobreyectiva sí cada uno de los elementos de B es imagen de algún elemento de A. En otras palabras, si f(A) = rango f = B. Es decir, f es sobreyectiva si para todo b ( B, existe a ( A tal que f(a) = b.

[pic] Una función f: A ( B se dice que es biyectiva si es a la vez Inyectiva
y sobreyectiva.

[pic] Ejemplo
a) f1 : A1 ( B1

b) f2 : A2 ( B2c) f3 : A3 ( B3

d) f4 : A4 ( B4

1.3 Operaciones con Funciones.

Supongamos dos funciones y = f(x) e y = g(x) definidas sobre un mismo dominio D. De un modo completamente natural, se definen la suma y multiplicación de ambas funciones:

[pic] [pic]
que, evidentemente, son dos nuevas funciones definidas en el dominio D.

[pic] Ejemplo
Dadas las funciones...