Matematicas

ECUACIONES EN DIFERENCIA
Introducción Las ecuaciones en diferencia permiten modelar la evolución en el tiempo de un sistema dinámico, tratando n o t como una variable discreta. Supongamos queabrimos una cuenta en un banco con un interés del 10% anual y sea an la cantidad de dinero en dicha cuenta en el año n. Entonces, la ecuación que describe la variación año a año de esta variable será:

an+1 = an + 0.1an

an +1 = 1,1an
Esta ecuación se conoce como un ECUACIÓN EN DIFERENCIA, ya que del lado izquierda aparece la diferencia entre los valores que toma la variable a n en dos instantesdistintos.

an +1 − 1,1an = 0

ECUACIONES EN DIFERENCIA. Conceptos Básicos
Definición: Una ecuación ordinaria en diferencia, es una ecuación que contiene una o mas diferencias de una funcióndesconocida cuyo argumento es el tiempo. La forma general de una ecuación en diferencia es:

an +1 = f (an , an −1 , K an − k +1 , n)

Forma explicita

Definición: es una ecuación que relaciona elvalor de Yt o Yn en el tiempo con los valores de Y en otros instantes.

f ( y, ∆yt , ∆2 yt , ∆3 yt ,K ∆n yt ) = 0

Forma implícita

ECUACIONES EN DIFERENCIA. Conceptos Básicos
Si Y es unafunción de t, escribimos Y=f(t). En ecuaciones en diferencias yt La primera diferencia: La segunda diferencia:

∆ y t = y t +1 − y t
= yt + 2 − yt +1 − ( yt +1 − yt ) = yt + 2 − 2 yt +1 + yt

∆2 yt =∆(∆yt ) = ∆( yt +1 − y t )

Ejemplo: 1.- ∆ 2 y t − y t = 0 Es una ecuación en diferencia escrita en forma de Operador. Desarrollando el operador diferencias se tiene yt + 2 − 2 yt +1 + yt − yt = 0 esdecir yt + 2 − 2 yt +1 = 0 2.- Si

y = x2 + 2x

Evalué

∆2 y x

ECUACIONES EN DIFERENCIA. Conceptos Básicos
El Orden de una ecuación en diferencia es la diferencia entre el mayor y el menorsubíndice de tiempo que aparecen en la ecuación. Ejemplo: 3 y t + 2 − 3 y t +1 − y t = 0 Orden 2 Orden 2 Orden 2

y t−2 − y t = 0 y t + 3 = 2 y t +1 + e t

Tipos de ecuaciones

Lineales: son...