Matematicas

Análisis de una función
12 de junio de 2009 | Autor: roberprof
Analicemos la función f(x) = x^3 – 2x^2
Dominio
Dom f = R
El dominio de la función f(x) son todos los números reales, dado que las operaciones que intervienen se pueden realizar con todos los números reales.
Imagen
Im f = R
La imagen de la función son todos los números reales. La función que estamos analizando es funciónpolionómica de grado 3, o sea una función cúbica.
Raíces
Busquemos las raíces
x^3 – 2x^2 = 0
x^2(x – 2) = 0
(x – 0)(x – 0)(x – 2) = 0
Por lo tanto las raíces son 0 y 2. Recordemos que 0 es una raíz doble.
Ordenada al origen
Veamos el valor de la función en 0.
f(0) = 0
Conjunto de positividad y Conjunto de negatividad
Teniendo las raíces o y 2, el eje x queda dividido en tres intervalos(-∞ ; 0) (0 ; 2) y (2 ; ∞).
Tenemos que analizar el valor de la función en valores de x que pertenezcan a cada intervalo.
f(-2) < 0
f(1) < 0
f(3) > 0
Por lo tanto:
C- = (- ∞ ; 0) y (0 ; 2)
C+ = (2, +∞)
Máximos y mínimos
Derivamos la función f(x):
f´(x) = 3x^2 – 4x
Las raíces de las función derivada son los posibles valores del máximo y del mínimo.
f´(x) = 3x^2 – 4x
3x^2 – 4x = 03x(x – 4/3) = 0
Las raíces son 0 y 4/3.
Para analizar cuál es el máximo y cuál es el mínimo debemos encontrar la segunda derivada.
f´´(x) = 6x – 4
f´´(0) = -4 < 0 En 0 hay un máximo
f´´(4/3) = 4 > 0 En 4/3 hay un mínimo
Ahora sabemos en valores hay un máximo y un mínimo pero no sabemos cuánto valen.
f(0) = 0
f(4/3) = -1,18
Hay un máximo en (0 ; 0)
Hay un mínimo en (4/3 ; -1,18)Intervalo de crecimiento e Intervalo de decrecimiento
Ahora que tenemos la ubicación del máximo y del mínimo podemos encontrar estos intervalos.
El eje x queda dividido en tres intervalos.
Analizando que de el máximo al mínimo hay un decrecimiento tenemos que:
Crecimiento = (-∞ ; 0) (4/3 ; ∞)
Decrecimiento = (0 ; 4/3)
Punto de inflexión
En la raíz de la segunda derivada hay un punto deinflexión, que es el punto del gráfico donde se cambia la concavidad.
f´´(x) = 6x – 4
6x – 4 = 0
La raíz es 2/3. Por lo tanto en x = 2/3 hay un punto de inflexión.
Representación gráfica

Análisis de una función racional
19 de marzo de 2011 | Autor: roberprof
Analizar la siguiente función

Representación gráfica

Observen que en la representación gráfica la recta vertical que pasa por elpunto (1,0), de ecuación x=1, es una asíntota a la hipérbola.
Análisis:
Dominio: R-{1}
Imagen: R-{0}
Raíces: -
Ordenada al origen: -1
Intervalo de crecimiento: -
Intervalo de decrecimiento: (-∞; 1) (1, ∞)
Conjunto de positividad: (1, ∞)
Conjunto de negatividad: (-∞; 1)
Máximo: -
Mínimo: -
 
Análisis de la función valor absoluto
18 de mayo de 2009 | Autor: roberprof
Graficar yanalizar la siguiente función:

Representación gráfica:

Dominio: R
Img: (2 ; ∞)
Ordenada al Orignen: 5
Raiz: -
Intervalo de Decrecimiento: (-∞ , 3)
Intervalo de Crecimiento: (3, ∞)
Conjunto de Positividad:(-∞, +∞)
Conjunto de Negatividad: -
Máximo: -
Mínimo: (3,2)

Límite de una función
21 de marzo de 2011 | Autor: roberprof
A partir del concepto de límite, podemos analizar elcomportamiento de un función alrededor un valor de x (que hasta podría no pertenecer al dominio) como cuando los valores del dominio aumentan indefinidamente. Esto nos permitirá tener una idea más aproximada del gráfico de una función.
Llamamos límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a, al número l, que es al que se acerca f(x) cuando x toma valores cada vez más cercanos a a.

Dada lafunción:

1. Encontremos el dominio.
2. Analicemos que pasa con la función cuando x tiende a 2. Para ello completaremos una tabla con valores que se acerquen a 2, por exceso y por defecto.
Dominio
El dominio de la función son todos los reales distintos de 2.

Tomando valores cercanos a 2 obtenemos la siguiente tabla.
x | f(x) |
3 | 5 |
2,5 | 4,5 |
2,1 | 4,1 |
2,001 |...