Matematicas

´ ´ Miscelanea Matematica 44 (2007) 101–116

SMM

Funciones multivaluadas y sus aplicaciones
Juan Carlos Mac´ Romero ıas
Facultad de Ciencias F´ ısico Matem´ticas a Benem´rita Universidad Aut´noma de Puebla e o Av. San Claudio y R´ Verde ıo Cd. Universitaria 72570 Puebla, Pue. M´xico e jcmacias@fcfm.buap.mx

Resumen En este trabajo se presentan las nociones b´sicas relacionaa das con lasfunciones multivaluadas. Como una aplicaci´n se o da una prueba de c´mo construir una funci´n de Peano, esto o o es, una funci´n continua y suprayectiva del intervalo unitario o I en I 2 . En general, en la literatura se construye tal funci´n o como l´ ımite uniforme de una sucesi´n de funciones continuas. o Aqu´ la construimos de forma diferente, ya que se obtiene como ı la intersecci´n de unasucesi´n anidada de im´genes de ciertas o o a funciones multivaluadas.

1.

Introducci´n o

Este trabajo lo hemos dividido en tres secciones. En la primera, damos una introducci´n del prop´sito principal. o o En la segunda, exponemos algunos resultados sobre funciones multivaluadas, en particular sobre las que son semicontinuas superiormente. De hecho, probamos un resultado que se conoce comoTeorema General de Funciones. Este teorema es muy importante pues nos brinda un modo de construir funciones continuas y suprayectivas entre espacios m´tricos y compactos. e 101

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En la tercera, utilizamos la teor´ antes desarrollada para presentar ıa unas aplicaciones de las funciones multivaluadas. Damos la prueba de c´mo construir una funci´n continua delintervalo unitario [0, 1] sobre o o 2 el cuadrado [0, 1] . En general, en la literatura se construye tal funci´n o como l´ ımite uniforme de una sucesi´n de funciones continuas. Aqu´ lo o ı hacemos de forma diferente pues aplicamos el Teorema General de Funciones. Al final incluimos unos ejercicios sobre esta secci´n. o La tem´tica de este trabajo se enmarca dentro de la parte de la a Topolog´ quese denomina Teor´ de los continuos. Tambi´n utilizareıa ıa e mos un poco de la teor´ de los hiperespacios de continuos. Esta teor´ ıa ıa tuvo sus inicios al principio del siglo XX con el trabajo de Hausdorff y Vietoris y durante los a˜os veinte y treinta, la escuela polaca de n topolog´ desarroll´ gran parte de la estructura fundamental de los ıa o hiperespacios de continuos. Mencionemos algunasnociones b´sicas sobre estas teor´ a ıas. Un continuo es un espacio m´trico, compacto y conexo. En Topoe log´ se llaman hiperespacios los espacios constituidos por una clase ıa, espec´ ıfica de subconjuntos de un espacio dado. Los hiperespacios m´s a estudiados de un continuo X son: 2X = {A ⊂ X : A es cerrado y A = ∅} , y C (X) = A ∈ 2X : A es conexo . A estos espacios se les da una m´trica definidade la manera siguiene te: Dados ε > 0 y A ∈ 2X definimos: N (ε, A) = {x ∈ X : existe a ∈ A tal que d (a, x) < ε} donde d es la m´trica de X. e La m´trica de Hausdorff para 2X se define entonces por: e H (A, B) = ´nf {ε > 0 : A ⊂ N (ε, B) y B ⊂ N (ε, A)} . ı Las nociones no definidas en lo que sigue pueden consultarse en [1], [2] y [3].

2.

Funciones semicontinuas superiormente

Definici´n 2.1.Sean X y Y espacios m´tricos y compactos. A una o e funci´n: o F : X −→ 2Y se le llama una funci´n multivaluada de X en Y . o

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Definici´n 2.2. Sean X y Y espacios m´tricos y F una funci´n de X o e o Y en 2 . Decimos que F es semicontinua superiormente en un punto p de X, si para cada conjunto abierto U de Y tal que F (p) ⊂ U , existe un conjuntoabierto V de X tal que p ∈ V y F (x) ⊂ U para cada x ∈ V . Decimos que F es semicontinua superiormente si lo es en cada punto del espacio.

Veamos un ejemplo sencillo de una funci´n semicontinua superioro mente. Ejemplo. Sea f : R → R definida como sigue: f (x) = 1 2 si x < 0 si x ≥ 0

Definamos F : R −→ 2R , para cada x ∈ R, por: F (x) = [0, f (x)] Sea p ∈ R. Afirmamos que F es semicontinua...