Matematicas

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Temas 10, 11 y 12: Geometría y trigonometría
Ángulos, triángulos, teorema de Tales, teorema de Pitágoras, razones trigonométricas, fórmulas trigonométricas

Razones trigonométricas de un ángulo
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Ángulos

Clásicamente los ángulos se miden en grados: la vuelta completa a una circunferencia son 360 o ; media vuelta son 180 o ; un cuarto de vuelta (un ángulorecto), 90 o , etc. Pero la unidad más científica es el radián. La relación entre grados y radianes es: Aunque en estos Apuntes trabajaremos habitualmente con grados, debe tenerse en cuenta que la unidad científicamente más usada son los radianes. No obstante, pasar de una unidad a otra (antes de empezar a operar o en el resultado final) es simple: basta hacer una regla de tres. Seno y coseno deun ángulo
¢

360 grados

son

2

radianes

Sobre los ángulos se pueden realizar, entre otras, unas operaciones que se denominan razones trigonométricas. Las más importantes son el seno (sen) y el coseno (cos). Para definirlas y poder estimar su valor aproximado nos podemos ayudar de un círculo cuyo centro coincida con el de un sistema de coordenadas cartesianas X, Y clásicoConsideraremos siempre que el radio del círculo es 1. Todo esto viene ilustrado en la siguiente figura:
Eje Y
2º Cuad. 90º

1

1º Cuad.

0.5

180º

-1

-0.5

0 -0.5

0.5

1

0º

Eje X

3º Cuad.
-1

4º Cuad. 270º

En ella también se han numerado los llamados cuatro cuadrantes en que queda dividido el círculo y se han representado algunos valores de los ejes X e Y (en los que cadamuesca de la escala vale 0.1 unidades, como puede comprobarse). También se han representado ángulos típicos. Donde está representado el ángulo 0 o se considera el punto de partida para medir ángulos; yendo contra las agujas del reloj el sentido se considera positivo (al revés es negativo: así, el ángulo 270 o también puede llamarse 90 o ). El seno de un ángulo se define como el valor de lacoordenada Y (ordenada) del punto que representa a dicho ángulo en el círculo de radio unidad que estamos tomando como referencia; el coseno es el valor de la coordenada X (abscisa). Por ejemplo, el seno de 30 o es 0.5, y el coseno de 30 o es un valor que está entre 0.8 y 0.9, como puede comprobarse, según las definiciones dadas, en la siguiente figura:
£

Apuntes y Problemas de MatemáticasEspeciales

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Y
× 30º

0.5

.8 .9

X

De la figura puede también deducirse que el seno de un ángulo es la altura del punto que representa al ángulo (marcado con ) respecto al eje de las X en un círculo de radio 1 . Por lo tanto, en adelante hay que tener muy en cuenta que: seno: coseno: valor de la coordenada y del punto que representa al ángulo valor de la coordenada x del punto querepresenta al ángulo
¥ ¤

Por supuesto, el signo de estas coordenadas puede ser positivo o negativo. Por ejemplo, siguiendo la definición que hemos dado, el valor del seno de un ángulo que esté situado en el tercer cuadrante (digamos 210 o ) debe ser negativo, pues en ese cuadrante la coordenada y tiene valor negativo. De las definiciones dadas y de la observación de la figura siguiente puedededucirse que las razones trigonométricas de un ángulo dado pueden coincidir (totalmente o diferenciándose a lo sumo en el signo) con las de otros ángulos del círculo.
¦

Y
150º ×
× 30º

X
210º ×
× 330º

Si en la figura observamos los puntos que representan a los ángulos escritos (puntos señalados con ), veremos qur todos ellos tienen el mismo valor absoluto (es decir, signo aparte) de lacoordenada y (0.5) y el mismo de la x (entre 0.8 y 0.9). Por tanto, el seno y el coseno de todos esos ángulos tienen el mismo valor absoluto. Esta constatación podemos generalizarla. En general, conociendo las razones trigonométricas (seno y coseno) de los ángulos del primer cuadrante podemos saber las de los ángulos de cualquiera de los otros tres cuadrantes, siguiendo las siguientes reglas: un...