Matematicas

INGENIERÍA INDUSTRIAL – REGIONAL SUROESTE
C álculo I
DERIVADAS parte I (módulos 9 al 16 del texto guía)
Docente: Carlos Andres Vélez
OBJETIVO
Presentar el concepto fundamental de derivada, elcual da pie al cálculo infinitesimal.
DEFINICIÓN
Sea f una función definida en un intervalo abierto I que contiene los puntos x1 y x1 + h
Se dice que f es derivable, diferenciable o que poseederivada si
lim
f x1h− f x1
h = f '  x= y'= Dx f = d
dx
f  x= dy
dx
h0
existe
Si f es derivable para todo x perteneciente al intervalo I, entonces
f '  x =lim f  xh− f  x
h
h0se llama función derivada de f con respecto a x
escrito de otra forma
f '  x1 =lim
f  x − f  x1
x−x1
x x1
Nota: Si una función posee derivada nos indica que a la gráfica de dicha funciónse le puede
trazar una recta tangente en cada punto de su dominio.
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C álculo I
TEOREMA (derivable → continua)
Si f es derivable en el punto x,entonces f es continua en el punto x. Lo contrario no siempre
se cumple; es decir, existen funciones continuas en un punto x que no poseen derivada en
ese punto.
Ver ejemplo de f(x) = |x| en la página90 del texto guía.
Nota: De una manera intuitiva se puede saber de la gráfica de una función si esta es o no
derivable en un punto. Si la gráfica presenta un pico en el punto dicha función NO esderivable en ese punto.
DERIVADAS LATERALES
La derivada por la derecha de x1 de una función esta dada por
f 
'  x  =lim
f x1h− f x1
h
h0
, o su equivalente
f 
' x1 =lim
f  x− f x1
x−x1
x x1

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C álculo I
La derivada por la izquierda de x1 de una función esta dada por
f −
'  x  =lim
f x1h− f x1
h
h0−
, osu equivalente
f −
' x1 =lim
f  x− f  x1
x−x1
x x1
−
REGLAS DE DERIVACIÓN
1. derivada de una constante
f  x = C f '  x = 0
2. derivada de la función identidad
f  x = x f '...