Matematicas

Funciones Reales

Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas
Sabemos que la recta real se forma al establecer una correspondencia uno a uno (1-1) entre los puntos de la recta y los elementos del conjunto de números reales. De manera análoga, se forma el plano real estableciendo una correspondencia uno a uno (1-1) entre los puntos en el plano y los elementos en el conjunto de todos lospares ordenados de números reales.

Descripción plano cartesiano
 Para formar el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas consideramos dos rectas numéricas mutuamente perpendiculares cuyo punto de intersección es el origen de cada recta.
La recta horizontal es llamada el eje de x (o eje de las abscisas) y la recta vertical es llamada el eje de y(o eje de las ordenadas). Ambos sonllamados los ejes coordenados. Los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen se llaman abscisas. Los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen se llaman ordenada. Estos ejes coordenados dividen el plano en 4 partes llamadas cuadrantes. Son enumerados del I al IV en contra de las manecillas del reloj.

  

Cuadrantes del plano cartesiano
Y

Cuadrante II

Cuadrante I

(-,+)

(+,+)
X
Origen

Cuadrante III

Cuadrante IV

(-,-)

(+,-)

Localización de un punto en un plano
 Cualquier punto P se localiza mediante un par único de números reales. Trace un par de rectas que pasen por P y que sean perpendiculares a los ejes x y y. Estas rectas cruzarán los ejes en puntoscon coordenadas a y b, y al punto P se le asigna el par ordenado (a,b). El primer elemento se le conoce como coordenada de x (o abscisa) y al segundo elemento como la coordenada de y (u ordenada).

Punto en un plano cartesiano
II
7 6 b 5 4 3 2 1

Y
P(a,b)

I
X
1 2 3 4a 5 6 7

III

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

IV

Distancia entre 2 puntos.
 La distancia entre lospuntos A (x1 ,y1) y B(x2 ,y2) en el plano es:

y
y
1

(x  x )  ( y  y )
2 2 1 2 1

2

2

(y  y )
2 1

B

A

(x  x )
2 1

0 x
d ( A, B )  ( x  x )  ( y  y )
2 2 1 2 1 2

1

x

2

Ejemplo
1. Halle la distancia entre (1,-6),(-1,-3). 2. ¿Cuál de los puntos P(1,-2) o Q(8,9) está más cerca de A (5,3)?

Producto Cartesiano
 Sean A y B dos conjuntos. Sedefine el producto cartesiano de A y B denotado por A x B, como el conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece al conjunto A el segundo elemento pertenece al conjunto B. Es decir:

AxB  {(a, b) / a  A  b  B}
Ejemplo: Sean A={1,2,3}

B={p, q}

Entonces:

A x B = {(1,p), (1,q),(2,p), (2,q),(3,p), (3,q)}

Grafica de un producto cartesiano en un plano cartesiano El producto cartesiano se puede mostrar mediante un gráfico en el plano, llamado plano cartesiano. El primer conjunto se escribe en una línea horizontal y el segundo conjunto en una línea vertical. El resultado son puntos en el plano. Graficando el ejemplo anterior tenemos: A x B = {(1,p), (1,q),(2,p), (2,q),(3,p), (3,q)}
B p q 1 2 3 A

Relación
 Cualquier subconjunto de un productocartesiano se llama una RELACIÓN de A en B. Generalmente se denotan con la letra R y se escribe: R:A B Elementos de una relación: Sea

R : A  B y (a, b)  R

, entonces definimos:

a: preimagen b: imagen de a b= R(a) que se lee “b es igual a R de a”

Ejemplo:
 En el ejemplo anterior se pueden determinar algunas relaciones: A x B = {(1,p), (1,q),(2,p), (2,q),(3,p), (3,q)}
R1={(1,q),(2,p),(3,p)}  R2={(2,q)}  R3={2,p),(2,q),(3,p)} Observación:Si la relación está referida a un solo conjunto, es decir, A = B, decimos que tenemos una relacion en A.

Ejercicio:
 Sean A   ,3,4,7 y B  2,4,6 1 Sea R: A B una relación definida por

R  ( x, y) / y  x  1

Escribir R por extensión

R  (1,2)3,45,6

Dominio de una Relación
 Sea R: A B una Relación

 Al...