Matematicas

Regla de l'Hôpital


Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.
En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli1 usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén en forma indeterminada. La aplicación de esta regla frecuentemente convierte una forma indeterminada en una forma determinada,permitiendo así evaluar el límite mucho más fácilmente.
Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine, Marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial, aunque actualmente se sabeque la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y demostró.1

Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice lo siguiente:
Si:
• es una función continua definida en un intervalo cerrado
• es derivable sobre el intervalo abierto
•

Entonces: existe al menos un número perteneciente al intervalo tal que .

En palabras más sencillas, si una curva regular sale yllega a la misma altura, en algún punto tendrá tangente horizontal.
En la figura se ven tres casos distintos. Si la función empieza subiendo, tendrá luego que bajar para reencontrar su valor inicial, entre la subida y la bajada, hay un punto donde la función alcanza un máximo, y en éste, f ' se anula. Lo mismo sucede si la función empieza bajando, y f ' es nula en el mínimo de f. El tercer ejemplomuestra que no se garantiza la unicidad de c.
Teorema de Valor Medio, de Lagrange o de Incrementos Finitos
Artículo principal: Teorema del valor medio
Si:
• f es una función continua definida en un intervalo [a, b]
• f es derivable sobre el intervalo (a, b)
Entonces: existe al menos un número c en el intervalo (a, b) tal que :

Es decir que existe un punto en donde la tangente esparalela a la cuerda AB.
Su prueba es sencilla, pues utiliza el teorema precedente.
Sea p la pendiente de la cuerda: p = (f(b) - f(a)) / (b - a), y se define la función g(x) = f(x) - p•x. Entonces g(b) - g(a) = f(b) - p•b - (f(a) - p•a) = f(b) - f(a) - p(b - a) = f(b) - f(a) -(f(b) - f(a)) = 0, y g como f, es continua sobre [a, b] y derivable en su interior.
Según el teorema anterior, existe un c en(a, b) tal que g '(c) = 0; pero esto se escribe f ' (c) = p.

Este teorema se escribe también, con las mismas hipótesis: f(b) = f(a) + f '(c)(b-a) lo que deja entrever el teorema de Taylor-Young:
f(b) = f(a) + (b-a)f '(a) + ... + (b-a)n/n! • f(n)(c), con f n veces derivable sobre (a, b).

Máximo absoluto
Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que encualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0
Mínimo absoluto
Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

b = 0
Máximo y mínimo relativo
Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
Una función f tiene un mínimorelativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

a = 3.08 b = -3.08

Crecimiento y decrecimiento.
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
 Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva  Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada esnegativa. Es decir,
Si Si
Como  ,es decir, la función es creciente en
En este caso  , es decir, la función es decreciente en x = a Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.
Se procede de la siguiente forma:
• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante • Con los puntos en los que se anula la derivada...