matematicas
Páginas: 27 (6553 palabras)
Publicado: 21 de marzo de 2013
6 SEMEJANZA
PARA
1
EMPEZAR
Señala si la siguiente tabla se corresponde con magnitudes directamente proporcionales.
A
2
3
4
6
B
2,5
3,75
5
7,5
Las magnitudes A y B son directamente proporcionales ya que
2
2
2,5
3
3,75
4
5
6
7,5
0,8.
pp p
Indica razonadamente la medida de los ángulos D , E y F de la figura.
B
60°
^
E
^
^F
A
50°
D
70°
C
p
D
60 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
p
E
p
C
70 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
p
F
3
p
B
p
A
50 ya que son ángulos opuestos por el vértice.
El Flatiron, con 87 metros de altura, y el Edificio Chrysler, con 319 metros, son, respectivamente, el más
bajo y el más alto delos rascacielos que aparecen en la maqueta de la página anterior.
Calcula cuánto miden las réplicas de LEGO de dichos edificios, si están construidas a escala 1 : 50.
Sean x la medida en metros de la réplica de LEGO del edificio Flatiron e y la del Edificio Chrysler.
Tenemos de escala 1 : 50, por tanto, se cumple:
1m
50 m
x
87 m
y
319 m
Despejando se obtiene:
x
87
50
y319
50
1,74 m;
6,38 m
Por tanto, la réplica del Flatiron mide 1,74 metros y la del Edificio Chrysler, 6,38 metros.
4
Teorema de Tales
PARA
PRACTICAR
Ejercicio resuelto
6.1 Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.
C3
C2
C1
A
D1
B
D2
6,4 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A setraza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelas al segmento BC3 por C2 y C1, que cortan al segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B
son iguales.
6.2 Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales.
C7
C6
C5C4
C3
C2
C1
A
D1
D2
D3
D4
D5
B
D6
10 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2, C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan paralelas al segmento BC7 por C6 , C5 , C4 , C3 , C2 y C1, que cortan alsegmento AB en D6 , D5 , D4 , D3 , D2 , y D1 , respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1 , D1D2 , D2D3 , D3D4 , D4D5 , D5 D6 y D6 B son iguales.
6.3 Divide un segmento de 6 centímetros de longitud en nueve partes iguales.
Si se procede de un modo similar a las dos actividades anteriores obtenemos:
C1
A
D1
C3
C2
D2
D3
C4
D4 D5
6 cm
C5
D6C7
C6
D7
C8
D8
C9
B
5
6.4 a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente.
1
b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC de razón 2 y —— .
4
a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido.
2)
1)
A
01234
56789
B
C
01234
5 6 7 8 9 10 11 12
A01234
3)
B
C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4)
A
B
01234
5)
C
A
01234
56789
6)
B
B
12 cm
9 cm
B
01234
A
C
C
01234
5 6 7 8 9 10 11 12
A
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C
15 cm
b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con uncompás llevamos sobre ellos la medida de los lados.
M
M
2)
24
18
cm
1)
B
A
C
A
N
cm
B
C
30 cm
N
1
, nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cua4
tro segmentos iguales. Procediendo de un modo similar al de la actividad 6.1 dividimos el lado AB en cuatro partes iguales,
de este modo obtenemos el vértice P. Para obtener el tercer...
PARA
1
EMPEZAR
Señala si la siguiente tabla se corresponde con magnitudes directamente proporcionales.
A
2
3
4
6
B
2,5
3,75
5
7,5
Las magnitudes A y B son directamente proporcionales ya que
2
2
2,5
3
3,75
4
5
6
7,5
0,8.
pp p
Indica razonadamente la medida de los ángulos D , E y F de la figura.
B
60°
^
E
^
^F
A
50°
D
70°
C
p
D
60 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
p
E
p
C
70 porque son ángulos que tienen un lado común y otro paralelo.
p
F
3
p
B
p
A
50 ya que son ángulos opuestos por el vértice.
El Flatiron, con 87 metros de altura, y el Edificio Chrysler, con 319 metros, son, respectivamente, el más
bajo y el más alto delos rascacielos que aparecen en la maqueta de la página anterior.
Calcula cuánto miden las réplicas de LEGO de dichos edificios, si están construidas a escala 1 : 50.
Sean x la medida en metros de la réplica de LEGO del edificio Flatiron e y la del Edificio Chrysler.
Tenemos de escala 1 : 50, por tanto, se cumple:
1m
50 m
x
87 m
y
319 m
Despejando se obtiene:
x
87
50
y319
50
1,74 m;
6,38 m
Por tanto, la réplica del Flatiron mide 1,74 metros y la del Edificio Chrysler, 6,38 metros.
4
Teorema de Tales
PARA
PRACTICAR
Ejercicio resuelto
6.1 Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.
C3
C2
C1
A
D1
B
D2
6,4 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A setraza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelas al segmento BC3 por C2 y C1, que cortan al segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B
son iguales.
6.2 Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales.
C7
C6
C5C4
C3
C2
C1
A
D1
D2
D3
D4
D5
B
D6
10 cm
Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se
llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2, C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan paralelas al segmento BC7 por C6 , C5 , C4 , C3 , C2 y C1, que cortan alsegmento AB en D6 , D5 , D4 , D3 , D2 , y D1 , respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1 , D1D2 , D2D3 , D3D4 , D4D5 , D5 D6 y D6 B son iguales.
6.3 Divide un segmento de 6 centímetros de longitud en nueve partes iguales.
Si se procede de un modo similar a las dos actividades anteriores obtenemos:
C1
A
D1
C3
C2
D2
D3
C4
D4 D5
6 cm
C5
D6C7
C6
D7
C8
D8
C9
B
5
6.4 a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente.
1
b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC de razón 2 y —— .
4
a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido.
2)
1)
A
01234
56789
B
C
01234
5 6 7 8 9 10 11 12
A01234
3)
B
C
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
4)
A
B
01234
5)
C
A
01234
56789
6)
B
B
12 cm
9 cm
B
01234
A
C
C
01234
5 6 7 8 9 10 11 12
A
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
C
15 cm
b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con uncompás llevamos sobre ellos la medida de los lados.
M
M
2)
24
18
cm
1)
B
A
C
A
N
cm
B
C
30 cm
N
1
, nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cua4
tro segmentos iguales. Procediendo de un modo similar al de la actividad 6.1 dividimos el lado AB en cuatro partes iguales,
de este modo obtenemos el vértice P. Para obtener el tercer...
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