Matematicas

Aplicando la derivada en problemas de optimización... Máximos y Mínimos de una función.
Definición:

i) Decimos que la función f(x) tiene un valor MÁXIMO LOCAL (relativo) en el punto x = a, sise cumple que el valor de la función en ese punto es mayor que el valor de la función en cualquier otro punto x cercano al número a, es decir, f(a) > f(x).

ii) Decimos que la función f(x) tiene unvalor MÍNIMO LOCAL (relativo) en el punto x = a, si se cumple que el valor de la función en ese punto es menor que el valor de la función en cualquier otro punto x cercano al número a, es decirf(a) < f(x).


Punto crítico
Definición: Los puntos del dominio de la función en los cuales f ´(x) es cero o no existe serán llamados puntos críticos de la función.

NOTA: Un punto críticorepresenta un POSIBLE valor máximo o mínimo de la función.

Ejemplo:
Obtenga los puntos críticos de la función y utilice el criterio de la primer derivada para
determinar si son máximos, mínimos o nimáx. ni mín. Indique los intervalos en los que f(x) es
creciente y en los que es decreciente.

Solución:



Los puntos críticos son x = -3/2 y x = 1/2Analizando los signos de la primera derivada tenemos:
x -2 -3/2 0 1/2 1
f´(x) f´(-2)=-5 0 f´(0)=3 0 f´(0)=-5

Respuesta:
Puntos críticos: x = -3/2 es un punto mínimo (la derivada cambia de signonegativo a positivo) y x=1/2 es un máximo (la derivada cambia de signo positivo a negativo)
Crece en: porque ahí la derivada tiene signo positivo
Decrece en: porque ahí la derivada tiene signonegativo

Puntos de inflexión
Definición: Llamamos punto de inflexión al punto en donde la gráfica de la función cambia de concavidad.
Por ejemplo:


aa

En x = a, la gráfica cambia de concavidad, entonces a es llamado punto de inflexión.

Nota: Los...