Matematicas

Consideremos la tangente a la curva f(x) en el punto P(a,f(a)).
¿Cómo se obtiene el ángulo α entre la tangente y el eje x positivo?
El conocimiento de los valores a y f(a) no basta paradeterminarlo, puesto que hay un número infinito de rectas, aparte de la tangente, que pasan por P.
Tampoco es necesario conocer la función f(x) en su comportamiento global; el conocimiento de la función en unavecindad arbitraria del punto P debe ser suficiente para determinar α. Esto indica que se debería definir la dirección de la tangente a una curva f(x) mediante un proceso de límite.

Consideremosun segundo punto P'(x,f(x)) sobre la curva, cercano a P.
Por los dos puntos P y P' se traza una línea recta.
Si el punto P' se mueve a lo largo de la curva hacia el punto P, entonces la recta PP' seaproxima a la tangente.
.


Sea α' el ángulo que la recta PP' forma con el eje x positivo.

Entonces limP'->P α' = α

Considerando las coordenadas de los puntos P y P', se tiene:f(x) - f(a) cateto opuesto
tan α' = ----------- ( ---------------- )
x - a cateto adyacente

Así, nuestro proceso de límite está representado porla ecuación:

f(x) - f(a)
tan α = lim tan α' = lim -----------
x->a x->a x - a

A este límite se lo denomina derivada de la función f(x) en el puntoa y se denota f'(a)

Definición
Derivada en el punto a
Se llama derivada de f(x) en x=a, y se denota f'(a) a:
f(x) - f(a)
f'(a) = lim -----------
x->a x - a

Funciónderivada
La derivada es una función de x, puesto que un valor de f'(x) corresponde a cada valor de x.

Teorema
Si una función es derivable, entonces es continua.

H) f es derivable en x=a.
T) fes continua en x=a.

Demostración:

Por hipótesis, existe

f(x) - f(a)
lim ----------
x->a x - a

=> existe f(a) (1)


lim f(x) = lim f(x) -...