Matematicas

SISTEMAS NUMÉRICOS Y PROPIEDADES EN RACIONALES REALES
Sistemas de Numeración
El sistema de numeración que usualmente se emplea, utiliza las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, con los cuales se puede expresar cualquier cantidad, pero considerando la posición del mismo, por ejemplo 79 y 97 tienen las mismas cifras pero significan diferente (el 7 en el 79 es decenas y en el 97 es unidades).Números naturales (N)
Los Números Naturales que se forman a partir de la reflexión anterior fácilmente nos permiten contar y numerar:

Y estos pueden ser representados así:

Los números naturales pueden sumarse, multiplicarse y su resultado siempre es un número natural pero, existen problemas como: 5 - 7= ?

Números enteros (Z)
Situaciones como la anterior, motivaron a ampliar el conjuntode los números de forma que hubiese respuesta. Tal ampliación fueron los números negativos a la cual se le llamo números enteros (Z).

En la recta numérica se representa así:

Con el anterior planteamiento proposiciones como x+3=2 tienen solución dado que ó Pero, surge otra inquietud. ¿Para qué valor de x la expresión es verdadera?. .

Números racionales (Q)

Las expresiones son enterassolo si p es múltiplo de q (p.e. si y entonces limitante se supera cuando se trabajan los números racionales entendidos como:

). Esta

"Todos los números de la forma aparece a continuación.

, donde p y q son enteros y

" lo anterior se escribe como

Números irracionales (I)
Todo lo anterior funciona de manera perfecta y se llega a conclusiones como que racionales. Una pregunta sencillael número 9 puede ser el resultado de multiplicar dos veces el mismo número ¿cuál?... ó Por supuesto dos veces el mismo número? . Pero cómo puedo obtener por ejemplo el número 2 multiplicando ó

es decir que un número podía tener su origen en el mismo conjunto de los enteros y los

A esta y a muchas otras preguntas dieron respuesta los números irracionales

.

Para precisar este conjuntode números se debe hacer referencia a los números reales.

Números reales (R)
Cuando se percibe que no todos los números pueden ser Q se plantea el conjunto de los números reales R donde se da respuesta a preguntas como la anterior y se dice que este conjunto estará formado por los racionales unidos con los irracionales. Para el caso de la pregunta se tiene que Nota: ó

Se plantea que "Todonúmero real que no se pueda escribir de la forma ¡¡Los números reales en detalle!!

es un número irracional".

En esta parte se describen algunas definiciones, teoremas y axiomas con ejemplos que permiten ilustrar con más detalle los números reales.

Axiomas de los Números Reales
Si a, b y c son números reales, entonces: Axioma clausurativo La suma, , y el producto, , son números realesúnicos.

Axiomas conmutativos 1. 2. Ejemplos 1. 2. 3. 4. Axiomas asociativos 1. 2. Ejemplos 1. 2. Axiomas distributivos 1. Axioma distributivo de izquierda: 2. Axioma distributivo de derecha: Ejemplos 1. 2. 3. . . . . .

Axiomas de elementos de identidad 1. Identidad aditiva: Existe un número real cero tal que para todo número real .

2. Identidad multiplicativa: Existe un número real 1(diferente de cero) tal que todo número real . Ejemplos 1. 2. .

para

Axiomas de elementos inversos 1. Inverso aditivo: Para cada número real por - , tal que 2. Inverso multiplicativo o recíproco: Para cada número real real llamado inverso multiplicativo de Ejemplos 1. Si a = 3 entonces 2. Si entonces , luego , luego quedaría como quedaría como . , denotado por diferente de cero existe un número .existe un número real llamado inverso de , denotado

, tal que

Propiedades de la Igualdad
Propiedad reflexiva

para todo número real Ejemplos

.

quiere decir que 3 + 4 y Propiedad simétrica

son nombres del mismo número.

Ejemplo

Propiedad transitiva

Ejemplos y y Propiedad de adición

Ejemplos

y

y Propiedad de multiplicación

Ejemplos

y

Definiciones...