matematicas

19. Un termómetro se lleva al exterior de una casa donde la temperatura ambiente es de 70° Fahrenheit. Al cabo de 5 minutos el termómetro registra y 5 minutos después registraFahrenheit.¿Cuál es la temperatura del exterior?
Solución

La ecuación diferencial que modela el problema es en donde es la temperatura del termómetro, que varía en función del tiempo y es la temperaturadel exterior, que se considera constante.

Resolviendo la ecuación por separación de variables tenemos:



Integrando:

y aplicando propiedades de logaritmos:


por tanto:A continuación, considerando la condición inicial vemos que:


es decir:


por lo que la solución general toma la forma:


y ahora tomando en cuenta que:


en la expresiónanterior tenemos:



Manipulando algebraicamente la primera ecuación para despejar


y la segunda ecuación:

y aplicando el método de igualación:



es decir:


por tanto,simplificando:



ecuación cuadrática de la forma que podemos resolver por la fórmula general, considerando .

Es decir:

entonces con

con


Sustituyendo este valoren cualquiera de la expresiones de :



Un paracaidista y su equipo pesan juntos . En el instante en que el paracaídas se abre, él está viajando verticalmente hacia abajo a . Si laresistencia del aire varía en forma directamente proporcional a la velocidad instantánea, y la resistencia del aire es cuando la velocidad es . ¿Cuál es la velocidad límite? ¿Cuáles son laposición y la velocidad en cualquier tiempo?
Solución

De acuerdo a la segunda ley de Newton: , y considerando que las fuerzas que actúan en sentido vertical son el peso en sentido positivo y laresistencia del aire en sentido negativo, podemos expresar:


Considerando también que:
,

siendo la constante de proporcionalidad, la segunda ley de Newton se puede anotar como:...