Matematicas

Conjuntos
Un conjunto es una colección de objetos.
Ejemplos
A = {a, e, i, o, u}
B = {blanco, gris, negro}
C = {2, 4, 6, 8, 9}
D = {x|x es un país de América Latina}
Conjuntos determinados por extensión y por Comprensión
Cuando un conjunto es descrito por una propiedad que comparten sus elementos se dice que está determinado por comprensión. Cuando damos una lista explícita de loselementos del conjunto, decimos que está determinado por extensión.
Ejemplos:
A = {x|x es un número primo menor que 50} A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
B = {x|x es un entero mayor que -3} B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
C = {x|x es unnúmero par y primo}
C = {2}
Consideremos el conjunto
D = {x|x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como el
Conjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.
OJO {∅} NO es el conjunto vacío, es un conjunto con un
Elemento.

Conjunto de referencia o conjunto universal

Consideremos el conjunto
A = {x|x es primo},
Hay un conjunto de referencia?letras?colores?reales?Naturales? El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedad
del conjunto lo tomamos como conjunto universal.

Son ejemplos de conjuntos universales:

U: N
U: R
U: Z
U: Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U: Habitantes de Colombia

Subconjuntos

Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A es subconjunto de B si todo elemento de A estambién elemento de B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B.
En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir que A * B negamos la proposición anterior así:
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B) ⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B).

Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A. Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cual contradice el hecho de que vacío no tiene elementos.Igualdad entre conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. En otras palabras (∀x)(x ∈ A ←→ x ∈ B).
Ejemplo
Sean: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.
Tenemos que B ⊆ A, pero C * A.

Conjunto Potencia o conjunto de Partes

Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X|X ⊆ A}. Se conoce como el conjunto de Partes de A, o elconjunto Potencia de A.
Ejemplo
Sea A = {a}. P(A) = {∅, {a}}.
Sea A = {a, b}.
P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Sea A = {a, b, c}. P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
Propiedades

Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n elementos.

Operaciones Con Conjuntos
Existen unas operaciones básicas que permitenmanipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
Intersección: La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Unión e IntersecciónPropiedades:
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A .
PropiedadesA′′ = A
A ⊆ B si y sólo si B′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
Diferencia: Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y B Como A − B = {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Propiedades
A − B = A ∩ B′
A − A = ∅
A − ∅ = A
A − B = A si y sólo si A ∩ B = ∅
A − B = ∅ si y sólo si A ⊆ B

Diferencia Simétrica
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia...