Matematicas

Definición [editar]Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar kperteneciente a K, se satisface que:

donde k es un escalar.
osea

Ejemplos [editar](Aclaración: 0V es el vector nulo del dominio y 0W es el vector nulo del codominio)

Transformación lineal identidad [editar]
Homotecias [editar] con
Si k > 1 se denominan dilataciones
Si k < 1 se denominan contracciones
Ver artículo sobre Homotecias
Propiedades de las transformacioneslineales [editar]Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el cuerpo) se satisface que:

Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.

El núcleo de toda transformación lineal esun subespacio del dominio:

dado que
Dados
Dados
Se denomina nulidad a la dimensión del núcleo.


O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.

La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineales la dimensión de la imagen.


una funcion lineal es la correspoendecia
Teorema fundamental de las transformaciones lineales [editar]Sea B = {v1,v2,v3,...vn} base de V y C = {w1, w2, w3,...wn} un conjunto de n vectores de W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación lineal.
Clasificación de las transformaciones lineales [editar]Monomorfismo: Si esinyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).L
Matriz asociada a una transformación lineal [editar]Una matriz asociada es la matriz formada por las coordenadas de los elementos de una base.

Dada T: V → W, con B = {v1, v2, v3, ..., vn} y C = {w1, w2, w3, ..., wp} bases deV y W respectivamente, llamamos coordenadas de v1 en base C, al vector formado por los coeficientes de los elementos de C que usamos para llegar al transformado de v1.

T(v1) = a1.w1 + a2.w2 + ... + ap.wp

Entonces:

coordC(v1) = (a1, a2,..., ap)

Y la matriz asociada a T, en las bases B y C, es la matriz resultante de "colgar" las cordenadas de cada elemento de B:

C(T)B = (coordC(v1),coordC(v2), ..., coordC(vn))

Función lineal como propiedad de los sistemas generales [editar]Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades:

Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x).
Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x).
Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) paratodos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.
Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.

Interpretación geométrica [editar] Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines [editar]Artículo principal: Función polinómica de grado 1
En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar funciónlineal de una variable real a una función matemática de la forma:


donde m y b son constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.

La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda...