matematicas

1213 - Ejercicios de PAU

2BACHCCTT
10-11-12 - Geometría

1.: PAUJ201112-A4. Dadas las rectas secantes:
⎧ x = −1 + λ
⎪
r1 : ⎨ y = 3 − 4 λ
⎪
⎩ z = −2 + 3λ

⎧ 5x − y + z = 2
⎪
r2 : ⎨
⎪
⎩ −5 x + y + z = 0

obtener las ecuaciones en forma continua y en forma paramétrica de la recta s que pasa por el punto de
intersección de las rectas dadas y es perpendicular a ambas, explicando elprocedimiento utilizado.

⎧
⎧
x =µ
x =x
⎪
⎧ 5x − y + z = 2
⎪
⎪
r2 : ⎨
→ ⎨ y = 5 x − 1 → ⎨ y = −1 + 5 µ
⎪
⎪
⎪ −5 x + y + z = 0
⎩
z =1
z =1
⎪
⎩
⎩
⎧
x = −1 + λ = µ
⎧ λ =1
⎪
⎪
→ P 0, −1,1
⎨ y = 3 − 4 λ = −1 + 5 µ → ⎨
⎪
⎪
⎩ µ=0
z = −2 + 3λ = 1
⎩

(

)

Perpendicular a las dos rectas tendrá como vector director:


i


j



k







= 5k+ 3 j + 4k − 15i = −15, 3, 9
1 −4 3
1 5 0

(

(

)

)

(

s Pasa por P 0, −1,1 y tiene como vector director: −15, 3, 9

)

⎧ x = 0 − 15t
⎪
x
y +1 z −1
Continua:
=
=
, Paramétrica: s : ⎨ y = −1 + 3t
−15
3
9
⎪
⎩ z = 1 + 9t
⎧ x = −1 + 3λ
⎪
2.: PAUJ201112-B4. Dada la recta: r : ⎨ y = −5λ
y dado el punto P 2, −2, 3 exterior a r,
⎪
⎩ z = 2 + 2λ
a) Hallar la ecuaciónen forma general del plano π que los contiene, explicando el procedimiento utilizado.

(

)

(1'5 puntos)
b) Obtener las ecuaciones en forma paramétrica, en forma continua y como intersección de dos planos,
de la recta s que pasa por P y es perpendicular al plano π , explicando el procedimiento utilizado.
(1 punto)

(

)

⎧ x = −1 + 3λ
⎧ Q −1, 0,2
⎪
⎪

a) r : ⎨ y = −5λ
→⎨ ⎪
⎪ u = 3, −5,2
⎩
⎩ z = 2 + 2λ

x −2 y +2 z −3
π:

3
−3

−5
2

2
−1

(

(

)

(

)

⎧
P 2, −2, 3
⎪

; ⎨ 
⎪ PQ = −3,2, −1
⎩

) (

(

) (

)
)

(

) (

) (

)

= 0 → 5 x − 2 + 6 z − 3 − 6 y + 2 − 15 z − 3 − 4 x − 2 + 3 y + 2 = 0

π : x − 3y − 9 z + 19 = 0

b) Si es perpendicular su vector director será el normal del plano: v = 1, −3, −9 ypasa por P 2, −2, 3
5 x − 10 + 6 z − 18 − 6y − 12 − 15z + 45 − 4 x + 8 + 3y + 6 = 0 →

(

)

(

)

⎧ x −2 y +2
⎧ x =2+λ
⎪
=
→ −3x + 6 = y + 2 → 3x + y − 4 = 0
⎪
x −2 y +2 z −3
⎪
1
−3
s : ⎨ y = −2 − 3λ → s :
=
=
→s:⎨
1
−3
−9
⎪
⎪ x − 2 = z − 3 → −9 x + 18 = z − 3 → 9 z + z − 21 = 0
⎩ z = 3 − 9λ
⎪ 1
−9
⎩

3.:PAUS201112-A4. Estudiar la posición relativa de las rectas:⎧ 4 x − 2y + z = 0
x −2 y +3 z
⎪
r:
=
=
s:⎨
3
−2
5
⎪ 2x − y + z = 5
⎩

(

)
)

⎧
⎧ P 0,5,10
x =t
⎧ 4 x − 2y + z = 0
⎪
⎪
⎪

s:⎨
→ 2 x − y = −5 → ⎨ y = 5 + 2t → ⎨ 
⎪ 2x − y + z = 5
⎪
⎪ u = 1,2, 0
⎩
⎩
⎩ z = 10



⎛
⎞
PQ = 2, −8, −10 Rango ⎜ 1 2 0 ⎟ = 2 ; Rango
⎝ 3 −2 5 ⎠

(

)

(

;

(

)

⎧ Q 2, −3, 0
⎪
r :⎨ 
⎪ v = 3, −2,5
⎩

()

⎛ 2 −8 −10 ⎞
*
⎜
⎟
0 ⎟ = 2 ⎡ A = 140 ⎤
⎜ 1 2
⎣
⎦
⎜ 3 −2 5 ⎟
⎝
⎠

Las rectas se cruzan

4.:PAUS201112-B4. Dado el plano

(

y dado el punto P 0, 3, −1

)

⎧ x = −1 + 3λ − 2 µ
⎪
⎪
π :⎨
y = 4+λ
⎪
⎪ z = −2 + 2λ − 5 µ
⎩
exterior a π , obtener las ecuaciones en forma continua, en forma

paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta r que pasa por P y esperpendicular al plano
π , explicando el procedimiento utilizado.
Si es perpendicular su vector director coincidirá con el normal del plano dado:

π:

x +1 y − 4 z + 2
3
−2

1
0

2
−5

= −5 x − 5 − 4y + 16 + 2z + 4 + 15y − 60 = −5 x + 11y + 2z − 45 = 0



La recta que pasa por P 0, 3, −1 y tiene como vector director u = −5,11,2 será:

(

)

(

)

⎧ x = 0 − 5λ
⎪
xy − 3 z +1
r : ⎨ y = 3 + 11λ , en forma continua:
=
=
y como intersección de dos planos:
−5
11
2
⎪
⎩ z = −1 + 2λ

x
y −3
x
z +1
=
→ 11x + 5y = 15 ;
=
→ 2 x + 5z = −5 ; r
−5
11
−5
2

⎧ 11x + 5y = 15
⎪
:⎨
⎪ 2 x + 5z = −5
⎩

5.:PAUJ201011-A4. Dados la recta r :

(

)

x −2 y
z −1
=
=
y el punto P 1,2, 3 .
3
−1
2

a) Hallar ecuación en forma general...