Matematicas

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Derivadas: máximos, mínimos, puntos de inflexión y curvatura

Utilización
Observa:

Definición y significado geométrico de la primera derivada.

Mueve eldeslizador h y observa las ecuaciones de la derecha. Coloca h = 0 y comprueba que el valor de la primera derivada coincide con la pendiente de la recta tangente.

Primera derivada: crecimiento,decrecimiento, máximos y mínimos locales.

Mueve dos de las rectas perpendiculares (situadas en la derecha) hasta los puntos donde se anula la primera derivada. Comprueba que en estos puntos hay un máximo yun mínimo local.
Si f´(x) > 0 la función es creciente. Observa que la función es creciente cuando el signo de f´(x) es positivo.
Si f´(x) < 0 la función es decreciente. Observa que la función esdecreciente cuando el signo de f´(x) es negativo.
Si f´(x) = 0 puede haber máximos o mínimos. Decimos puede haber ya que la confirmación la obtenemos de la segunda derivada.
Máximo local : curvacreciente - decreciente.
Mínimo local: curva decreciente - creciente.

Segunda derivada: Confirmación de máximos y mínimos. Curvatura y puntos de inflexión.

Mueve la última recta perpendicularhasta el punto donde se anula la segunda derivada y observa:

Si f´´(x) < 0, hay un máximo. La función es cóncava (miramos desde abajo).
Si f ´´ (x) > 0, hay un mínimo. La función es convexa.
Si f´´(x) = 0, hay un punto de inflexión.
El los puntos de inflexión la función cambia la curvatura. En este caso pasamos de cóncavo a convexo.
Hay punto de inflexión si la tercera derivada es distinta de0.

Mueve la función a otra posición y comprueba nuevamente todo lo dicho.

Gráfica

Rapidez de cambio

La expresión [pic] representa el cuociente entre la variación dela variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a...