Matematicas
Páginas: 5 (1142 palabras)
Publicado: 13 de mayo de 2010
INTEGRAL INDEFINIDA
Concepto de antiderivada :
U
U
Una pregunta inicial para hacerse. ¿ Cuál es una función F(x) , que al haber sido derivada se obtuvo f ( x) = 2 x ?. La repuesta es:
B B B
F ( x) = x 2 .
B
Una nueva pregunta. ¿Es la única función?, ¿existen otras funciones?, cuales? La respuesta es: No es la única, observe que existen funciones tales como:
B
F ( x) = x + 5 ,o F ( x) = x − 2 , o
2 2
B B B B
F ( x) = x 2 +
B
3 2 , en general, esto quiere
B
decir que a la función F ( x) = x , se le puede sumar cualquier constante. Entonces podemos expresar lo siguiente. La antiderivada (también llamada primitiva) de f ( x) = 2 x es una función de la forma
2
B B B B
F ( x) = x 2 + c , donde c es una constante ya que la derivada de ella es
B
siemprecero.
La integral Indefinida:
Como vimos la Antiderivada de F ( x ) = 2 x , es la función
B B B
f ( x ) = x + c , ya que al derivar f (x) , obtenemos F (x) .
2
B B B B B
Esto lo podemos denotar de la siguiente forma:
B
2 xdx = x 2 + c ∫
B
En forma general hablamos de la antiderivada como integral indefinida, con la siguiente notación:
Entonces al proceso de calcularuna integral se llama Integración. El término dx identifica a x como la variable de integración. REGLA DE POTENCIAS
El siguiente teorema expresa que para integrar una potencia de x (distinta de x −1 ) simplemente se aumenta el exponente en 1 y se divide por el numero que indica el nuevo exponente. Observe que esta regla no funciona para n = −1 , ya que esto produciría una división entre cero. Másadelante se desarrollara para este caso.
B B B B
Teorema 1. Regla de potencias
B
x n +1 x n dx = +c ∫ n +1
B
A continuación se resolverá algunas integrales utilizando la anterior regla.
Regla general que combina sumas y productos de constantes:
Teorema 2.
Supóngase que f ( x ) y g ( x ) tienen antiderivadas. Entonces, para constantes cualquiera a y b,
B B
B
∫ af (x) + bg ( x) dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ g ( x)dx
B
U
Ejemplo Resuelto:
B B
(3 x 4 + 2 x −5 ) dx Calcular ∫ Solución: Utilizando el teorema 2. Separando la integrales y sacando las constantes tenemos:
B
3∫ x 4 dx + 2 ∫ x −5 dx
B
Y hallando las antiderivadas correspondientes:
B
Simplificando la solución:
x5 x −4 3 +2 +c 5 −4
3 5 1 x − 4 +c 5 2x .
B
B
BInterpretación Geométrica de la Integral Indefinida.
2 obtenemos la función F ( x) = x + c , que como vimos es la antiderivada de f ( x) = 2 x . Entonces realicemos la gráfica
Al calcular la integral de
2
B
∫ 2 xdx
B
B
B
B
B
de F ( x) = x + c . Debemos tener diferentes valores para la constante de integración c. En la animación se puede ver que se realiza la graficacorrespondiente para la función cuadrática con diferentes valores para c.
B B
Luego al hallar la antiderivada F ( x ) + c esta representa una familia de la misma curva.
B B
Método de Sustitución
El método de sustitución es una de las herramientas más fuertes para hallar integrales que no se pueden realizar en forma inmediata utilizando la fórmula general. Primero veamos un ejemplo, paraluego generalizar el método.
U
Ejemplo : Evaluar la siguiente Integral
U B
x (1 + x 2 ) 5 dx ∫
B
Solución: Para resolver con la fórmula general de la integración, primero 2 5 tendríamos que resolver el binomio (1 + x ) . Pero si usamos un cambio de variable podemos reducir la integral, esto es u = 1+ x2
B B B B
Derivando
B
du = 2x dx
B
Despejando dx , tenemos Cambiandoeste resultado en la integral
B B B
dx =
du 2x .
B
∫ x (u )
B
5
du 2x
B
Simplificando la x nos queda:
1 5 u du 2∫
B
B
Aplicando la fórmula general de la integral 1 u6 +c 2 6
B
B
Y cambiando nuevamente de variable para u, nos queda
B
x (1 + x 2 ) 5 dx ∫
B
1 (1 + x 2 ) 6 + c = 12
B
B
Integrales de la funciones trigonométricas y otras...
Concepto de antiderivada :
U
U
Una pregunta inicial para hacerse. ¿ Cuál es una función F(x) , que al haber sido derivada se obtuvo f ( x) = 2 x ?. La repuesta es:
B B B
F ( x) = x 2 .
B
Una nueva pregunta. ¿Es la única función?, ¿existen otras funciones?, cuales? La respuesta es: No es la única, observe que existen funciones tales como:
B
F ( x) = x + 5 ,o F ( x) = x − 2 , o
2 2
B B B B
F ( x) = x 2 +
B
3 2 , en general, esto quiere
B
decir que a la función F ( x) = x , se le puede sumar cualquier constante. Entonces podemos expresar lo siguiente. La antiderivada (también llamada primitiva) de f ( x) = 2 x es una función de la forma
2
B B B B
F ( x) = x 2 + c , donde c es una constante ya que la derivada de ella es
B
siemprecero.
La integral Indefinida:
Como vimos la Antiderivada de F ( x ) = 2 x , es la función
B B B
f ( x ) = x + c , ya que al derivar f (x) , obtenemos F (x) .
2
B B B B B
Esto lo podemos denotar de la siguiente forma:
B
2 xdx = x 2 + c ∫
B
En forma general hablamos de la antiderivada como integral indefinida, con la siguiente notación:
Entonces al proceso de calcularuna integral se llama Integración. El término dx identifica a x como la variable de integración. REGLA DE POTENCIAS
El siguiente teorema expresa que para integrar una potencia de x (distinta de x −1 ) simplemente se aumenta el exponente en 1 y se divide por el numero que indica el nuevo exponente. Observe que esta regla no funciona para n = −1 , ya que esto produciría una división entre cero. Másadelante se desarrollara para este caso.
B B B B
Teorema 1. Regla de potencias
B
x n +1 x n dx = +c ∫ n +1
B
A continuación se resolverá algunas integrales utilizando la anterior regla.
Regla general que combina sumas y productos de constantes:
Teorema 2.
Supóngase que f ( x ) y g ( x ) tienen antiderivadas. Entonces, para constantes cualquiera a y b,
B B
B
∫ af (x) + bg ( x) dx = a ∫ f ( x)dx + b ∫ g ( x)dx
B
U
Ejemplo Resuelto:
B B
(3 x 4 + 2 x −5 ) dx Calcular ∫ Solución: Utilizando el teorema 2. Separando la integrales y sacando las constantes tenemos:
B
3∫ x 4 dx + 2 ∫ x −5 dx
B
Y hallando las antiderivadas correspondientes:
B
Simplificando la solución:
x5 x −4 3 +2 +c 5 −4
3 5 1 x − 4 +c 5 2x .
B
B
BInterpretación Geométrica de la Integral Indefinida.
2 obtenemos la función F ( x) = x + c , que como vimos es la antiderivada de f ( x) = 2 x . Entonces realicemos la gráfica
Al calcular la integral de
2
B
∫ 2 xdx
B
B
B
B
B
de F ( x) = x + c . Debemos tener diferentes valores para la constante de integración c. En la animación se puede ver que se realiza la graficacorrespondiente para la función cuadrática con diferentes valores para c.
B B
Luego al hallar la antiderivada F ( x ) + c esta representa una familia de la misma curva.
B B
Método de Sustitución
El método de sustitución es una de las herramientas más fuertes para hallar integrales que no se pueden realizar en forma inmediata utilizando la fórmula general. Primero veamos un ejemplo, paraluego generalizar el método.
U
Ejemplo : Evaluar la siguiente Integral
U B
x (1 + x 2 ) 5 dx ∫
B
Solución: Para resolver con la fórmula general de la integración, primero 2 5 tendríamos que resolver el binomio (1 + x ) . Pero si usamos un cambio de variable podemos reducir la integral, esto es u = 1+ x2
B B B B
Derivando
B
du = 2x dx
B
Despejando dx , tenemos Cambiandoeste resultado en la integral
B B B
dx =
du 2x .
B
∫ x (u )
B
5
du 2x
B
Simplificando la x nos queda:
1 5 u du 2∫
B
B
Aplicando la fórmula general de la integral 1 u6 +c 2 6
B
B
Y cambiando nuevamente de variable para u, nos queda
B
x (1 + x 2 ) 5 dx ∫
B
1 (1 + x 2 ) 6 + c = 12
B
B
Integrales de la funciones trigonométricas y otras...
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