matematicas

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Semana 5
Contenidos:
Sistemas de medici´n de angulos
o
´
Conversi´n de angulos en distintos sistemas de medici´n
o
´
o
´
Angulos en tri´ngulos
a
´
Angulos entre paralelas: correspondientes, alternos, congruentes

1.1.

Conceptos Primitivos de la Geometr´
ıa

Punto: Seg´n Euclides, un punto es un objeto sin dimensi´n, es decir, no tiene largo, no tiene ancho,
u
o
nialto. Se representa por letras may´sculas.
u

Recta: Al igual que el punto se dice que una recta es un objeto matem´tico con una dimensi´n, solo
a
o
tiene largo. Generalmente la representamos con una letra L acompa˜ada de un sub-´
n
ındice.

Plano: Su caracter´
ıstica es tener dos dimensiones, largo y alto, generalmente, se designa con letras
griegas may´sculas, por ejemplo Π, Φ, Θ etc.u

1.1.1.

Axiomas Principales de la Geometr´ Euclideana
ıa

En todo plano existen infinitos puntos.
Por un punto pasan infinitas rectas.
Por dos puntos pasa s´lo una recta.
o
Geometr´a Plana
ı

Matem´tica
a

6
Todo plano posee al menos 3 puntos no colineales (no los podemos unir a trav´s de una sola
e
recta).
Si dos puntos de una recta est´n en un plano, entonces la recta est´en el plano.
a
a

1.2.

´
Angulos

´
Definici´n 1.2.1 (Angulo). Es la abertura comprendida entre dos rayos, llamados lados
o
que parten de un mismo punto denominado v´rtice.
e

1.2.1.

Sistemas de medici´n de ´ngulos
o
a

Los ´ngulos se pueden medir de diversas maneras:
a

1.2.2.

Sistema sexagesimal

Su unidad es el “grado sexagesimal” y es la medida habitual de los´ngulos. Por ejemplo, 360°,
a
45°, etc. Tiene subunidades que son los minutos y los segundos.
1 grado = 60 minutos = 60’
1 minuto = 60 segundos = 60”
Ejemplo 1.2.1. .
a) 38,5 ◦ = 38 ◦ 30’

ya que 38 ◦ +0,5 ◦ =38,5 ◦ y
1◦ →
0,5° →

1◦
→
0,42° →

Entonces, x =

60’
x

0, 5 · 60
= 30’
1

b) 11,42 ◦ = 11 ◦ 25’12”

Geometr´a Plana
ı

60’
x

ya que

Matem´tica
a

7Entonces, x =

0, 42 · 60
= 25, 2’pero 25,2’= 25’+ 0,2’, luego
1
1’ →
0,2’ →

Entonces, y =

1.2.3.

60”
y

0, 2 · 60
= 12”
1

Sistema circular o absoluto

Su unidad es el radi´n (rad). Un radi´n es el angulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con
a
a
´
que fue descrito, es decir:

donde r = AB (arco AB).
Dado que la longitud de una circunferencia es 2πr, un ´ngulocompleto de 360° equivale a 2π
a
radianes (rad ), por lo tanto:
360°=2π rad
1 rad = 57°17’44”

(π = 3, 14159 . . .)

Teniendo esta equivalencia, podemos transformar radianes a grados y viceversa.
Ejemplo 1.2.2. ¿A cu´ntos radianes equivalen 30°?
a
Respuesta: Tenemos que:
2π
x
Luego, x =

→ 360°
→ 30°

π
rad.
6

Ejemplo 1.2.3. ¿A cu´ntos radianes equivalen 45°?
a
Respuesta:Tenemos que:
2π
x
Geometr´a Plana
ı

→ 360°
→ 45°
Matem´tica
a

8
Luego, x =

π
rad.
4

π
Ejemplo 1.2.4. ¿A cu´ntos grados equivalen rad.?
a
3
Respuesta: Tenemos que
2π
π
rad.
3

→ 360°
→
x

Luego, x=60°

1.2.4.

Clasificaci´n de los ´ngulos seg´ n su medida
o
a
u

Sea α un ´ngulo cualquiera, luego:
a
´
Angulo nulo α=0°
´
Angulo agudo 0°< α 90°

1.5.1.5.1.

Elementos secundarios del tri´ngulo
a
Altura

Es la perpendicular trazada desde un v´rtice, al lado opuesto o a su prolongaci´n.
e
o
Hay tres alturas una correspondiente a cada lado.
Se designan con la letra que indica el lado: ha , hb , hc .
El punto de concurrencia de las tres alturas se llama ortocentro, el punto O.

1.5.2.

Propiedades de la altura

1. En un tri´nguloacut´ngulo el ortocentro queda ubicado en el interior del tri´ngulo; en un
a
a
a
tri´ngulo rect´ngulo queda ubicado en el v´rtice del angulo recto; en un tri´ngulo obtus´ngua
a
e
´
a
a
lo queda ubicado en el exterior del tri´ngulo
a
2. En un tri´ngulo equil´tero de lado a, cada altura mide:
a
a
h=

Geometr´a Plana
ı

a√
3
2

Matem´tica
a

15
3. El area de un...