matematicas

Matemáticas
MATEMATICAS
A. Matemáticas básicas
I. Cálculo
1. Diferencial en una variable

• Derivada de una función de una variable
Definición.- Sea f(x) una función continua en el punto x=a. La derivada de f(x),
respecto a x, en el punto x=a, que representaremos con el símbolo
Df(a), es el
lim f(a+∆x)-f(a)
∆x→0

∆x

Definición.- Sea f una función definida en un intervalo abiertoque contiene a a.
Entonces la pendiente m de la recta tangente a la gráfica de f en el
punto P(a,f(a)) está dada por
m =lim f(a+h)-f(a)
h→0
h
siempre y cuando este limite exista.
Definición.- Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a a.
Entonces la derivada de f en α, denotada por f’(a), está dada por
f’(a)=lim f(a+h)-f(a)
h
h→o
Reglas para encontrar derivadas1. d (c) = 0
dx
2. d (x) = 1
dx
3. d (u+v+...) = d (u)+
dx
dx

d (v)+...
dx

d
4. d
(cu) = c
(u)
dx
dx
5. d (uv) = u d (v)+v d (u)
dx
dx
dx
6. d
dx

1

(uvw) = uv d (w)+uw
dx

d
dx

(v)+vw

d
dx

(u)

Matemáticas
7. d u = 1•d (u) , c≠0
dx c
c dx

8.

d
dx

c
u

=c

9.

d
dx

u
v

=v

d
dx

1
u

d
(u)-u
dx

=d
dx

c•d(u), u≠0
u2 dx
(v), v≠0

v2
10.

d (xm)= mxm-1
dx

11.

d (um) = mum-1
dx

d (u)
dx

Ejemplos:
Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto P(a, f(a)).
1. f(x)=2-x3
=d (2)- d (x3)
dx
dx
= 0- 3x2 = -3x2
2. f(x)=3x-5
=3 d (x)- d (5)
dx
dx
= 3(1) – 0 = 3
3. f(x)= √ x +1
= 1 (x)-1/2 d (x) + d (1)
2
dx
dx
= 1 (x) –1/2
2
=1
2 √x

2Matemáticas
4. f(x)= 1- 1
x
=d (1/x) – d (1)
dx
dx
=x d (1) – (1)d (x) - 0
dx
dx
x2
=-1
x2
La posición de un punto P moviéndose sobre una recta coordenada l está
dada por f(t) donde t está medido en segundos y f(t) en centímetros.
Encuentre la velocidad media de P en el siguiente intervalo de tiempo:
f(t)= 4t2 + 3t en el intervalo (1,1.2)
= 4 d (t2) + 3 d (t)
dx
dx
= 4(2t) + 3(1)= 8t + 3
Sumando los puntos del intervalo y dividiendo entre 2
1+1.2 = 1.1
2
Sustituyendo en la derivada resultante
=8(1.1) + 3
=11.8
Hallar f’(x)
f(x)=√3x+1 = (3x+1)1/2
f’(x)= 1 (3x+1)-1/2 d (3x+1)
2
dx
= 1 (3x+1)-1/2 (3)
2
=

3

3
2√3x+1

Matemáticas
Derivar las siguientes funciones:
1. g(w)= 1
w4
=w4 (0) –1(4w3)
(w4)2
= -4w3 = -4w3-8 = -4w-5
w8
2. g(x) =(x3-7)(2x2+3)
= (x3-7) d (2x2+3)+(2x2+3) d (x3-7)
dx
dx
= (x3-7)(4x)+(2x2+3)(3x2)
= 4x4-28x+6x4+9x2
= 10x4+9x2-28x
3. f(x)= 4x-5
3x+2
(3x+2)d (4x-5) – (4x-5)d (3x+2)
dx
dx
=
2
(3x+2)
=

(3x+2)(4)-(4x-5)(3)
(3x+2)2

= 12x+8-12x+15
2

(3x+2)

4.

h(z) =

=

23
(3x+2)2

8-z+3z2
2-9z

=
=

(2-9z)(-1+6z)-(8-z+3z2)(-9)
(2-9z)2

=

4

(2-9z)d (8-z+3z2)-(8-z+3z2)d(2-9z)
dx
dx
2
(2-9z)

(-2+12z+9z-54z2)-(-72+9z-27z2)
(2-9z)2

Matemáticas
=

-2+12z+9z-54z2+72-9z+27z2
(2-9z)2

=

-27z2+12z+70
(2-9z)2

Usar ∆y = f(x2)-f(x1) = f(x1+∆x)-f(x1) para encontrar ∆y usando los valores iniciales
de x y ∆x indicados.
1. y =2x2-4x+5, x=2, ∆x=-0.2
= f(1.8)-f(2)
= {2(1.8)2-4(1.8)+5} – {2(2)2-4(2)+5}
= (6.48-7.2+5)-(8-8+5)
= 4.28-5
= -0.72
2. y =1/x2, x=3, ∆x=0.3
= f(3.3)-f(3)
=

1
(3.3)2

=

1
10.89

1
(3)2

-

1
9

= -0.0192837

Derivar las funciones definidas.
1. f(x) = (x2-3x+8)3
=

3(x2-3x+8)2 d (x2-3x+8)
dx

= 3(x2-3x+8)2 (2x-3)
2. g(x) = (8x-7)-5
= -5(8x-7)-6 d (8x-7)
dx

5

Matemáticas
= -5(8x-7)-6 (8)
= -40(8x-7)-6
3.

f(x) =

x
(x2-1)4

=

(x2-1)4 d (x) – x d (x2-1)4
dx
dx((x2-1)4)2

=

((x2-1)4 (1)) – ((x) ((4 (x2-1)3 (2x)))
((x2-1)4)2

=

((x2-1)4 (1)) – (x (8x (x2-1)3 )
((x2-1)4)2

=

(x2-1)4 – 8x2 (x2-1)3 )
(x2-1)8

=

-7x2(x2-1)3
(x2-1)8

4. g(z) =

= 6

1 6

2

z –

z2

z2 –

= 6

= 6

6

z2 –

2

z –

1 5
z2
1

z2

z2 -

1
z2

((z2)(0)-(1)(2z))

5
2z-

z2

1

d
dx

5

(z2)2

2z
2z +...